Théorème des quatre carrés de Lagrange

Le théorème des quatre carrés de Lagrange, également connu sous le nom de conjecture de Bachet, s'énonce de la façon suivante : Tout entier positif peut s'exprimer comme la somme de quatre carrés. Plus formellement, pour tout entier positif n, il existe des entiers a, b, c, d tels que : n = a + b + c + d. Il correspond à une équation diophantienne qui se résout avec les techniques de l'arithmétique modulaire. La démonstration du théorème repose (en partie) sur l'identité des quatre carrés d'Euler : Ce théorème a été conjecturé par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac en 1621, dans les notes accompagnant sa traduction en latin du Diophante. Fermat affirma avoir une preuve de cette conjecture et même d'une généralisation : le théorème des nombres polygonaux, finalement démontré par Cauchy en 1813. Il proclama son intention d'écrire un livre qui révolutionnerait cette partie de l'arithmétique, mais aucun livre ne parut. Euler travailla sur ce sujet à partir de 1730 et publia en 1751 une démonstration qu'il reconnaissait incomplète, mais qui montrait déjà que tout entier positif est somme de quatre carrés de rationnels. Le théorème fut démontré en 1770 par Joseph Louis Lagrange et redémontré en 1772 par Euler. Adrien-Marie Legendre l'améliora en 1797-1798, en affirmant qu'un entier positif est somme de trois carrés si et seulement s'il n'est pas de la forme 4(8m + 7). Sa démonstration était défectueuse mais en 1801, Carl Friedrich Gauss donna la première preuve correcte et complète de ce théorème des trois carrés. Ceci résout complètement le problème de Waring pour k = 2. Différentes versions (très similaires) de la preuve classique de Lagrange se trouvent facilement dans la littérature moderne. La preuve présentée ici en est une version légèrement simplifiée (on évite de considérer séparément les cas où m est pair et impair). D'après l'identité des quatre carrés d'Euler (et le fait que le théorème est vrai pour les nombres 0, 1 et 2), il suffit de démontrer le lemme principal ci-dessous.