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Concept
Décagone
Résumé
Un décagone est un polygone à 10 sommets, donc 10 côtés et 35 diagonales.
La somme des angles internes d'un décagone non croisé vaut °.
Un décagone régulier est un décagone dont les dix côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a deux : un étoilé (le décagramme noté {10/3}) et un convexe (noté {10}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on dit « le décagone régulier ». Il est constructible.
L'aire d'un décagone régulier de côté a vaut
Cette construction est excessivement simple mais n'est pas forcément exacte :
Tracer un cercle Γ de centre O.
Soit A un point quelconque appartenant à Γ.
Il suffit alors de placer le point B sur Γ de façon que l'angle mesure 36°. En effet, on a 360/10 = 36°. Pour placer le point B, il faut utiliser un rapporteur, ce qui peut être source d'inexactitudes dans le reste de la construction (un rapporteur n'est jamais très précis).
Il ne reste plus qu'à reporter AB sur le cercle de manière à obtenir les 8 sommets restants.
Enfin on relie les différents sommets entre eux de manière à obtenir un décagone (à peu près) régulier.
Après avoir construit un pentagone régulier, il est facile de construire un décagone régulier : par bissection.
Tracer un cercle qui passe par tous les sommets du pentagone.
Tracer le milieu de chaque côté du pentagone.
Tracer un segment qui joint le centre du pentagone au point milieu de chaque côté et qui touche le cercle.
Joindre, avec des segments, toutes les paires de points voisins qui touchent au cercle.
Tracer un cercle Γ de centre O et de diamètre [AB].
La médiatrice de [AB] (passant donc par O et perpendiculaire à [AB]) coupe le cercle Γ en deux points. Soit D l'un de ces points.
Tracer le milieu C de [OA].
Le cercle de centre C et de rayon CD coupe [OB] en E (les proportions AE/OA et OA/OE sont égales au nombre d'or).
Reporter 10 fois de suite la longueur OE sur le cercle Γ (à partir d'un point quelconque du cercle) pour obtenir les sommets d'un décagone régulier.
Relier les différents sommets de manière à obtenir un décagone régulier.
Source officielle
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