Symbole de Schläfli

En mathématiques, le symbole de Schläfli est une notation de la forme {p,q,r, ...} qui permet de définir les polyèdres réguliers et les pavages. Cette notation donne un résumé de certaines propriétés importantes d'un polytope régulier particulier. Le symbole de Schläfli fut nommé ainsi en l'honneur du mathématicien du Ludwig Schläfli qui fit d'importantes contributions en géométrie et dans d'autres domaines. Le symbole de Schläfli pour un polygone régulier convexe à n côtés est {n}. Par exemple, un pentagone régulier est représenté par {5}. Pour représenter des polygones étoilés, les fractions sont utilisées. Ainsi le pentagramme, qui est le pentagone étoilé, est représenté par {5/2}, ce qui signifie que ce polygone possède 5 arêtes et que chacune de ces arêtes relie un sommet s au sommet s + 2 (en les numérotant dans l'ordre naturel de parcours). Ainsi la première arête relie le premier et le troisième sommet, le deuxième et le quatrième, le troisième et le cinquième... Le symbole de Schläfli d'un polyèdre régulier est {p,q} si ses faces sont des p-gones, et chaque sommet est entouré par q faces (la figure de sommet est un q-gone). Par exemple {5,3} est le dodécaèdre régulier. Il possède des faces pentagonales, et trois pentagones autour de chaque sommet. Voir les 5 solides de Platon, les 4 solides de Kepler-Poinsot. Les symboles de Schläfli peuvent aussi être définis pour les pavages réguliers des espaces euclidiens ou hyperboliques d'une manière similaire. Par exemple, le pavage hexagonal est représenté par {6,3}. Il est en effet formé d'hexagones et chacun des sommets est entouré par trois autres. Le symbole de Schläfli pour un polychore régulier est de la forme {p,q,r}. Il possède des faces polygonales régulières {p}, des cellules {p,q}, des figures de sommet polyèdriques régulières {q,r} et des figures d'arêtes polygonales régulières {r}. Voir les six polychores réguliers convexes et les dix non convexes. Par exemple, le 120-cellules est représenté par {5,3,3}.