Polygone régulier

En géométrie euclidienne, un polygone régulier est un polygone à la fois équilatéral (tous ses côtés ont la même longueur) et équiangle (tous ses angles ont la même mesure). Un polygone régulier est soit convexe, soit étoilé. Tous les polygones réguliers convexes d'un même nombre de côtés sont semblables. Tout polygone régulier étoilé de n côtés a une enveloppe convexe de n côtés, qui est un polygone régulier. Un entier n supérieur ou égal à 3 étant donné, il existe un polygone régulier convexe de n côtés. Dans certains contextes, tous les polygones considérés seront convexes et réguliers. Il est alors d'usage de sous-entendre les deux épithètes « convexe régulier ». Par exemple, toutes les faces des polyèdres uniformes doivent être convexes et régulières et les faces seront décrites simplement en tant que triangle, carré, pentagone... Les multiples propriétés des polygones réguliers ont conduit à leur étude mathématique depuis l'Antiquité et à diverses interprétations symboliques, religieuses ou magiques. Un polygone est régulier si et seulement s'il est à la fois équilatéral et inscriptible (dans un cercle). Un polygone est régulier si, et seulement s'il existe une rotation qui envoie chaque sommet sur le suivant. Tout polygone régulier est donc non seulement à la fois équilatéral et équiangle (par définition) mais même à la fois isotoxal et isogonal. Un polygone à n côtés est régulier si et seulement si son groupe de symétrie est « le plus gros possible » : d'ordre 2n. Tout polygone régulier est autodual. Les polygones réguliers à n sommets (considérés à similitude près) sont en bijection avec les entiers premiers avec n et compris entre 1 et n/2(donc pour n > 2, il y en a φ(n)/2, où φ désigne l'indicatrice d'Euler). Construction à la règle et au compas Un polygone régulier (convexe ou étoilé) à n arêtes peut être construit avec la règle et le compas si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 par des nombres premiers de Fermat distincts ( l'article « Théorème de Gauss-Wantzel »).