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Polygone régulier

Résumé

En géométrie euclidienne, un polygone régulier est un polygone à la fois équilatéral (tous ses côtés ont la même longueur) et équiangle (tous ses angles ont la même mesure). Un polygone régulier est soit convexe, soit étoilé. Tous les polygones réguliers convexes d'un même nombre de côtés sont semblables. Tout polygone régulier étoilé de n côtés a une enveloppe convexe de n côtés, qui est un polygone régulier. Un entier n supérieur ou égal à 3 étant donné, il existe un polygone régulier convexe de n côtés. Dans certains contextes, tous les polygones considérés seront convexes et réguliers. Il est alors d'usage de sous-entendre les deux épithètes « convexe régulier ». Par exemple, toutes les faces des polyèdres uniformes doivent être convexes et régulières et les faces seront décrites simplement en tant que triangle, carré, pentagone… Les multiples propriétés des polygones réguliers ont conduit à leur étude mathématique depuis l'Antiquité et à diverses interprétations symboliques,

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Polygone_r%C3%A9gulier

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Let

p

be an odd prime and

zeta_p

be a primitive pth root of unity over

smallBbbQ

. The Galois group

G

K:=smallBbbQ(zeta_p)

over

smallBbbQ

is a cyclic group of order

p-1

. The integral group ring

smallBbbZ[G]

contains the Stickelberger ideal

S_p

which annihilates the ideal class group of

K

. In this paper we investigate the parameters of cyclic codes

S_p(q)

obtained as reductions of

S_p

modulo primes

q

which we call Stickelberger codes. In particular, we show that the dimension of

S_p(p)

is related to the index of irregularity of p, i.e., the number of Bernoulli numbers

B_2k

1le kle (p-3)/2

, which are divisible by

p

. We then develop methods to compute the generator polynomial of

S_p(p)

. This gives rise to a new algorithm for the computation of the index of irregularity of a prime. As an application we show that 20,001,301 is regular. This significantly improves a previous record of 8,388,019 on the largest explicitly known regular prime

1996