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Concept
Dérivabilité
Résumé
Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a. Elle est dérivable sur un intervalle réel ouvert non vide si elle est dérivable en chaque point de cet intervalle. Elle est dérivable sur un intervalle réel fermé et borné (c'est-à-dire sur un segment réel) non réduit à un point si elle est dérivable sur l'intérieur de cet intervalle et dérivable à droite en sa borne gauche, et dérivable à gauche en sa borne droite.
La dérivabilité se démontre usuellement de deux façons :
dans l'étude locale (c'est-à-dire en se plaçant dans un voisinage du point étudié), en utilisant directement la définition de l'existence du nombre dérivé à l'aide de limites. Ainsi, une fonction f définie sur l'intervalle I est dite dérivable en un point a de I s'il existe un réel l tel queou, ce qui est équivalent :
dans l'étude globale (c'est-à-dire sur tout un intervalle), en utilisant les propriétés des dérivées pour montrer que f est un assemblage de fonctions connues et dérivables sur un intervalle donné. Par exemple, ou autre
La dérivabilité entraîne la continuité : pratiquement, en un point non isolé du domaine de définition de la fonction, la continuité sera un préalable nécessaire pour pouvoir étudier la dérivabilité en ce point ; si l'on sait qu'une fonction est dérivable en un point, alors on sait qu'elle est (préalablement) continue en ce point. Mais la réciproque est fausse, comme le montrent les exemples ci-dessous.
Les fonctions de classe C sur un intervalle réel non vide et non réduit à un point (un tel intervalle est dit « non trivial ») sont des fonctions dérivables à fonction dérivée première continue sur cet intervalle.
La dérivabilité peut se concevoir également pour des fonctions de la variable réelle à valeurs dans un espace vectoriel normé. Il existe également une notion de dérivabilité pour des fonctions de la variable complexe mais les propriétés de ces fonctions sont très spécifiques et conduisent à l'étude des fonctions holomorphes.
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