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Concept
Matrice échelonnée
Résumé
En algèbre linéaire, une matrice est dite échelonnée en lignes si le nombre de zéros précédant la première valeur non nulle d'une ligne augmente strictement ligne par ligne jusqu'à ce qu'il ne reste éventuellement plus que des zéros.
Voici un exemple de matrice échelonnée
(les désignent des coefficients quelconques, les des pivots, coefficients non nuls) :
Une matrice échelonnée est dite matrice échelonnée réduite, ou matrice canonique en lignes, si les pivots valent 1 et si les autres coefficients dans les colonnes des pivots sont nuls. La matrice échelonnée réduite associée à l'exemple précédent est :
Les matrices suivantes sont échelonnées réduites :
Toute matrice peut être transformée en sa matrice échelonnée réduite au moyen d'opérations élémentaires sur les lignes, à savoir :
permuter deux lignes ;
multiplier une ligne par une constante non nulle ;
ajouter à une ligne le multiple d'une autre ligne.
La matrice échelonnée réduite ainsi obtenue est unique.
Le rang d'une matrice échelonnée, réduite ou non, est le nombre de lignes possédant un pivot (non nul).
C'est également le rang de la matrice initiale, les opérations de réduction ci-dessus conservant chacune le rang.
Soit A une matrice quelconque, à m lignes et n colonnes, de rang r. Soit C la matrice constituée des r premières lignes de la matrice échelonnée réduite associée (les lignes qui suivent sont nulles). Procédons également à l'échelonnement réduit de la matrice par blocs où est la matrice identité à m lignes, et soit la matrice par blocs échelonnée réduite associée, de la forme . Les matrices C et L permettent de déterminer plusieurs sous-espaces relatifs à la matrice A.
Dans le cas où m = n = r, la matrice K est l'inverse de la matrice A.
Si A est la matrice
alors la matrice échelonnée réduite de est telle que
et
Le noyau Ker(A) de la matrice A est défini comme le sous-espace vectoriel de constitué des colonnes X solutions du système linéaire homogène AX = 0. Ce noyau de A est identique à celui de C, et se calcule plus facilement à partir de C.
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