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Concept
Théorème des gendarmes
Résumé
thumb|upright=1.5|Deux fonctions et qui admettent la même limite au point , et une fonction prise en « étau » entre et dans le voisinage de . Selon le théorème du sandwich, admet comme limite en .
En analyse, le théorème des gendarmes (également appelé théorème de l'étau, théorème d'encadrement ou théorème du sandwich) est un théorème concernant la limite d'une fonction. Selon ce théorème, si deux fonctions ( et ) admettent la même limite en un point , et qu'une troisième fonction est prise en « étau » (ou « encadrée » ou « prise en sandwich ») entre et dans le voisinage de , alors admet en une limite, égale à la limite commune de et .
Le théorème des gendarmes est souvent utilisé pour déterminer la limite d'une fonction via la comparaison avec deux autres fonctions dont la limite est connue ou facilement calculable.
Soient :
E un espace topologique ;
A une partie de E ;
un point de E adhérent à A ;
et trois fonctions de A dans = R ∪ {–∞, +∞} ;
un élément de .
Pour comprendre le nom familier du théorème, il faut assimiler les fonctions et à des gendarmes et à un suspect. Ce dernier, encadré par les deux gendarmes, est obligé de les suivre jusqu'à la gendarmerie . En Italie, on l'appelle « théorème des carabiniers », « théorème de l'affrontement », ou encore « théorème du sandwich ».
Il est également appelé « théorème d'existence de limites par encadrement » dans le supérieur car son résultat phare est l'existence de la limite plus que sa valeur. Il existe en effet d'autres théorèmes, comme celui de passage à la limite dans une inégalité, qui permettent d'obtenir la valeur d'une limite si l'on connaît son existence.
Si et , les hypothèses du théorème sont satisfaites pour , en posant .
Si et , les hypothèses du théorème sont satisfaites pour , en posant .
L'ensemble A peut être un intervalle réel et le point a un élément de cet intervalle, ou l'une de ses deux bornes (finies ou non).
On peut aussi appliquer le théorème avec ou et : si , et sont trois suites réelles, telles que pour tout avec réel ou infini.
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