En mathématiques, une fonction nulle part continue, également appelée fonction discontinue partout, est une fonction qui n'est continue en aucun point de son domaine. Si f est une fonction définie sur les nombres réels à valeur dans les nombres réels, alors f est nulle part continue si pour chaque point x il existe un tel que pour chaque nous pouvons trouver un point y tel que et . Par conséquent, peu importe à quel point nous nous rapprochons d'un point fixé, il existe des points encore plus proches auxquels la fonction prend des valeurs qui ne sont pas proches.
Des définitions plus générales de ce type de fonction peuvent être obtenues, en remplaçant la valeur absolue par la fonction distance dans un espace métrique, ou en utilisant la définition de continuité dans un espace topologique .
Fonction de Dirichlet
Un exemple d'une telle fonction est la fonction indicatrice des nombres rationnels, également connue sous le nom de fonction de Dirichlet. Cette fonction est notée IQ ou 1Q et a un ensemble de définition et un ensemble d'arrivée tous deux égaux aux nombres réels. IQ (x) est égal à 1 si x est un nombre rationnel et 0 si x n'est pas rationnel.
Plus généralement, si E est un sous-ensemble d'un espace topologique X tel que E et son complémentaire soient denses dans X, alors la fonction à valeurs réelles qui prend la valeur 1 sur E et 0 sur le complément de E ne sera nulle part continue. Les fonctions de ce type ont été initialement étudiées par Peter Gustav Lejeune Dirichlet .
Une fonction réelle f est nulle part continue si son extension hyperréelle naturelle a la propriété que chaque x est infiniment proche d'un y tel que la différence est appréciable (c'est-à-dire non infinitésimale ).
Fonction de Thomae (également connue sous le nom de fonction pop-corn) : une fonction qui est continue en tous les nombres irrationnels et discontinue en tous les nombres rationnels.
Fonction de Weierstrass : une fonction continue partout (à l'intérieur de son domaine) et différentiable nulle part.
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Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles d'une variable.
Cette classe est donné sous forme inversée.
En mathématiques, une fonction nulle part continue, également appelée fonction discontinue partout, est une fonction qui n'est continue en aucun point de son domaine. Si f est une fonction définie sur les nombres réels à valeur dans les nombres réels, alors f est nulle part continue si pour chaque point x il existe un tel que pour chaque nous pouvons trouver un point y tel que et . Par conséquent, peu importe à quel point nous nous rapprochons d'un point fixé, il existe des points encore plus proches auxquels la fonction prend des valeurs qui ne sont pas proches.
droite|vignette|Représentation graphique de la fonction de Dirichlet, deux lignes parallèles qui semblent solides. La ligne bleue (resp. rouge) représente les nombres rationnels (resp. irrationnels), qui sont proches les uns des autres dans les réels. Le graphe contient un nombre indénombrable (resp. dénombrable) de trous dans la ligne bleue (resp. rouge), mais comme ils sont de longueur nulle on ne les voit pas.
L'analyse (du grec , délier, examiner en détail, résoudre) a pour point de départ la formulation rigoureuse du calcul infinitésimal. C'est la branche des mathématiques qui traite explicitement de la notion de limite, que ce soit la limite d'une suite ou la limite d'une fonction. Elle inclut également des notions comme la continuité, la dérivation et l'intégration. Ces notions sont étudiées dans le contexte des nombres réels ou des nombres complexes.
Le contenu de ce cours correspond à celui du cours d'Analyse I, comme il est enseigné pour les étudiantes et les étudiants de l'EPFL pendant leur premier semestre. Chaque chapitre du cours correspond