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Concept
Relations d'Euler dans le triangle
Résumé
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Les relations d'Euler dans le triangle sont des relations entre les rayons des cercles inscrit/exinscrits et circonscrit. Leonhard Euler les a publiées en 1767 , mais elles l'avaient déjà été par William Chappie en 1746.
Notons qu'on désigne aussi par relation d'Euler la relation vectorielle reliant le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit.
Pour un triangle quelconque, on note O, I, I les centres respectifs des cercles circonscrit, inscrit, et exinscrit dans l'angle (par exemple), et R, r, r leurs rayons respectifs.
Les relations d'Euler s'énoncent
ce qui peut aussi s'écrire :
ou encore :
On en déduit l'inégalité d'Euler :laquelle est une égalité ssi le triangle est équilatéral .
vignette|Le calcul de la différence des puissances d'un point M par rapport à deux cercles s'exprime à partir de la projection H de M sur l'axe radical des deux cercles.
Cette démonstration utilise la propriété suivante des puissances d'un point par rapport à deux cercles. Étant donnés deux cercles de centres O et O', et un point M se projetant en H sur l'axe radical, la différence des puissances de M par rapport aux deux cercles vérifie : .
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Dans le triangle , les bissectrices (BI) et (BI) étant perpendiculaires ainsi que (CI) et (CI), le quadrilatère BICI est inscriptible dans un cercle de centre Ω, milieu du diamètre [II].
Désignons par Ω le point d'intersection de la bissectrice issue de A avec le cercle circonscrit ; par le théorème de l'angle inscrit Ω est le milieu de l'arc donc . Mais également, donc Ω = Ω, et Ω appartient au cercle circonscrit.
D'après la propriété ci-dessus, .
Or et , donc .
De même, .
D'après la propriété ci-dessus, .
Or et , donc .
520px|right
Cette démonstration utilise les propriétés de l'angle inscrit et de la puissance d'un point par rapport à un cercle .
La droite (AI) coupe le cercle circonscrit en L. Soit M le point diamétralement opposé à L sur ce cercle.
Soit D le pied de la perpendiculaire menée de I sur (AB). C'est un point de tangence du cercle inscrit, en sorte qu'on a ID = r.
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