Problème de Waring

En théorie des nombres, le problème de Waring, proposé en 1770 par Edward Waring consiste à déterminer si, pour chaque entier naturel k, il existe un nombre s tel que tout entier positif soit somme de s puissances k-ièmes d'entiers positifs. La réponse affirmative, apportée par David Hilbert en 1909, est parfois appelée théorème de Hilbert-Waring. La détermination, pour chaque exposant k, du plus petit s vérifiant cette propriété — noté g(k) — n'était pas pour autant résolue. Un problème voisin a été dérivé, qui consiste à rechercher la valeur — notée G(k) — du plus petit s tel que tout entier positif assez grand est somme de s puissances k-ièmes d'entiers positifs. On a clairement g(1) = 1, et quelques calculs montrent que 7 requiert quatre carrés, 23 requiert neuf cubes et 79 requiert dix-neuf puissances quatrièmes, donc g(2) ≥ 4, g(3) ≥ 9 et g(4) ≥ 19. Waring conjectura que ces inégalités étaient en fait des égalités. Le théorème des quatre carrés de Lagrange de 1770 affirme que tout entier naturel est somme de quatre carrés ; puisque trois carrés ne sont pas suffisants pour décomposer 7, ce théorème établit que g(2) = 4. Au fil des années, divers majorants de g furent trouvés, avec des techniques de démonstration de plus en plus sophistiquées ; par exemple, Liouville montra que g(4) vaut au plus 53. De même, Hardy et Littlewood démontrèrent que tout entier suffisamment grand est somme de dix-neuf puissances quatrièmes. Les valeurs de g(k) pour k de 2 à 17 sont : Pour k compris entre 3 et 7, elles ont été déterminées entre 1909 et 1986. J. A. Euler, le fils de Leonhard Euler, remarque en 1772 que pour tout k ≥ 1, g(k) est au moins égal à 2 + [(3/2)] – 2, où [x] désigne la partie entière de x. En effet, comme l'entier 2[(3/2)k] – 1 est strictement inférieur à 3, une représentation de cet entier comme somme de puissances k-ièmes ne peut être formée que de puissances k-ièmes de 2 et de 1, et sa représentation la plus économique est donc Les formules établies depuis semblent indiquer que l'inégalité remarquée par J.