Équation de Chapman-Kolmogorov

En théorie des probabilités, et plus spécifiquement dans la théorie des processus stochastiques markoviens, l'équation de Chapman-Kolmogorov est une égalité qui met en relation les lois jointes de différents points de la trajectoire d'un processus stochastique. Cette équation a été mise en évidence indépendamment par le mathématicien britannique Sidney Chapman et le mathématicien russe Andreï Kolmogorov. Supposons que { fi } est une suite de variables aléatoires, c'est-à-dire un processus stochastique. Soit la densité de la loi jointe des variables f1 ... fn. Alors l'équation de Chapman–Kolmogorov s'écrit qui n'est rien d'autre que le calcul de la dernière loi marginale. Notons que nous n'avons pas besoin de supposer un quelconque ordre temporel des variables aléatoires. Lorsque le processus stochastique considéré est markovien, l'équation de Chapman-Kolmogorov devient une relation entre les lois de transition. Dans le cadre des chaînes de Markov, on suppose que i1 < ... < in, et grâce à la propriété de Markov, on a où les probabilités conditionnelles sont les probabilités de transition entre les temps . Ainsi, l'équation de Chapman–Kolmogorov devient Lorsque la loi de probabilité de l'espace d'états de la chaîne de Markov est discret et que la chaîne est homogène, l'équation de Chapman-Kolmogorov peut être exprimée en termes de produit de matrices (éventuellement de dimension infinie), de la manière suivante : où P(t) est la matrice de transition, i.e., si Xt est l'état du processus au temps t, alors pour tout couple de points i et j de l'espace d'état, on a Le mathématicien français d'origine allemande Wolfgang Döblin termine son mémoire sur la résolution de cette équation mi-février 1940 alors qu'il était dans l'armée de terre Française, il se suicide après l'annonce de la demande de l'Armistice de 1940. Le pli cacheté 11-668 qu'il envoya à l'Académie des sciences ne fut ouvert qu'en 2000. Équation de Fokker-Planck (Équation de Kolmogorov forward) Équation de Kolmogorov backward Chaîne de Markov Équation maîtr