Analyse constructiveL'analyse constructive est une branche des mathématiques constructives. Elle critique l'analyse mathématique classique et vise à fonder l'analyse sur des principes constructifs. Elle s'inscrit dans le courant de pensée constructiviste ou intuitionniste, dont les principaux membres ont été Kronecker, Brouwer ou Weyl. La critique porte sur la façon dont est utilisée la notion d'existence, de disjonction et sur l'utilisation du raisonnement par l'absurde.
IntuitionnismeL'intuitionnisme est une philosophie des mathématiques que L. E. J. Brouwer a élaborée au début du . Pour Brouwer, les mathématiques sont une libre création de l'esprit humain et tous les objets qu'elles manipulent doivent être accessibles à l'intuition. L'intuitionnisme a pour conséquence une profonde remise en cause des mathématiques, notamment en refusant l'infini actuel : un nombre réel ne peut être représenté comme une suite infinie de décimales qu'à la condition de disposer d'un moyen effectif de calculer chacune de ces décimales ; on parle alors de réel constructif.
Constructivisme (mathématiques)En philosophie des mathématiques, le constructivisme est une position vis-à-vis des mathématiques qui considère que l'on ne peut effectivement démontrer l'existence d'objets mathématiques qu'en donnant une construction de ceux-ci, une suite d'opérations mentales qui conduit à l'évidence de l'existence de ces objets. En particulier, les constructivistes ne considèrent pas que le raisonnement par l'absurde est universellement valide, une preuve d'existence par l'absurde (c-à-d une preuve où la non-existence entraîne une contradiction) ne conduisant pas en soi à une construction de l'objet.
Logique intuitionnisteLa logique intuitionniste est une logique qui diffère de la logique classique par le fait que la notion de vérité est remplacée par la notion de preuve constructive. Une proposition telle que « la constante d'Euler-Mascheroni est rationnelle ou la constante d'Euler-Mascheroni n'est pas rationnelle » n'est pas démontrée de manière constructive (intuitionniste) dans le cadre de nos connaissances mathématiques actuelles, car la tautologie classique « P ou non P » (tiers exclu) n'appartient pas à la logique intuitionniste.
Démonstration (logique et mathématiques)vignette| : un des plus vieux fragments des Éléments d'Euclide qui montre une démonstration mathématique. En mathématiques et en logique, une démonstration est un ensemble structuré d'étapes correctes de raisonnement. Dans une démonstration, chaque étape est soit un axiome (un fait acquis), soit l'application d'une règle qui permet d'affirmer qu'une proposition, la conclusion, est une conséquence logique d'une ou plusieurs autres propositions, les prémisses de la règle.
Argument de la diagonale de Cantorvignette|Illustration de la diagonale de Cantor En mathématiques, l'argument de la diagonale, ou argument diagonal, fut inventé par le mathématicien allemand Georg Cantor et publié en 1891. Il permit à ce dernier de donner une deuxième démonstration de la non-dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels, beaucoup plus simple, selon Cantor lui-même, que la première qu'il avait publiée en 1874, et qui utilisait des arguments d'analyse, en particulier le théorème des segments emboîtés.
