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Concept
Analyse constructive
Résumé
L'analyse constructive est une branche des mathématiques constructives. Elle critique l'analyse mathématique classique et vise à fonder l'analyse sur des principes constructifs. Elle s'inscrit dans le courant de pensée constructiviste ou intuitionniste, dont les principaux membres ont été Kronecker, Brouwer ou Weyl.
La critique porte sur la façon dont est utilisée la notion d'existence, de disjonction et sur l'utilisation du raisonnement par l'absurde.
L'analyse constructive peut être considérée comme apportant une précision sur les théorèmes classiques et leur démonstrations, en distinguant les énoncés considérés comme constructifs de ceux qui ne le sont pas. Ces derniers, classiquement vrais, demandent en analyse constructive à être prouvés d'une façon plus effective, ou bien à être remplacés par un énoncé constructif. Cette distinction entre énoncés constructifs et énoncés non constructifs ne manque pas d'intérêt par exemple dans la possibilité de mettre en œuvre des procédures numériques visant à appliquer un théorème, même si l'analyse constructive ne se limite pas à cet aspect algorithmique.
Considérons une propriété P dépendant d'un paramètre x. On se pose la question de montrer qu'il existe x tel que P(x) soit vérifié. Il y a essentiellement deux façons de répondre à cette question :
la première consiste à définir un objet x particulier puis à vérifier que P(x) est vrai. Il s'agit d'une existence effective ;
la deuxième consiste à raisonner par l'absurde. On suppose que, pour tout x, P(x) n'est pas vérifié, et l'on essaie d'en déduire une contradiction. Si l'on y parvient, on conclura que la non-existence de x est absurde et donc que x existe. Dans ce type de démonstration, on ne donne en général aucun moyen de définir explicitement le x en question. Il s'agit d'une existence formelle.
L'analyse mathématique classique ne fait pas de différence entre ces deux notions d'existence, alors que l'analyse constructive les distingue. La première notion est notée :
alors que la deuxième est notée :
Les deux ne sont pas considérées identiques en analyse constructive.
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