Fibré en droites

En mathématiques, un fibré en droites est une construction qui décrit une droite attachée en chaque point d'un espace. Par exemple, une courbe dans le plan possède une tangente en chaque point, et si la courbe est suffisamment lisse alors la tangente évolue de manière « continue » lorsqu'on se déplace sur la courbe. De manière plus formelle on peut définir un fibré en droites comme un fibré vectoriel de rang 1. Le langage des fibrés en droites est utilisé en topologie et en géométrie algébrique, mais il apparaît aussi en géométrie différentielle et donc dans les domaines de la physique qui utilisent ces outils, en particulier les théories de jauges. L'intérêt de se focaliser sur les fibrés en droites c'est que dans bien des cas les invariants ou les propriétés de constructions plus élaborées (par exemple, des fibrés vectoriels) se calculent ou s'obtiennent à partir des invariants ou propriétés correspondants sur les fibrés en droites : c'est le principe de décomposition (voir plus bas), qui prend la forme particulière du théorème de Birkhoff–Grothendieck pour les fibrés holomorphes sur le plan projectif complexe. Les fibrés en droites constituent donc les briques de bases de la théorie des fibrés vectoriels. Un fibré en droites est déterminé par le choix d'une droite, c'est-à-dire d'un espace vectoriel de dimension un, pour chaque point de l'espace considéré, ce choix devant être continu. En général, il s'agit d'un espace vectoriel réel ou complexe. On en donne maintenant la définition complète. Soit ou , et soit une variété différentielle. Alors un fibré en droites est formellement un couple formé d'une variété différentielle et d'une surjection lisse , satisfaisant les propriétés suivantes : Pour tout point , chaque fibre est un -espace vectoriel de dimension un ; Pour tout point , il existe un voisinage et un difféomorphisme tel que : Pour tout point , Pour tout point , l'application restreinte est un isomorphisme d'espaces vectoriels.