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Concept
Loi de Wishart
Résumé
En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Wishart est la généralisation multidimensionnelle de la loi du χ2, ou, dans le cas où le nombre de degré de libertés n'est pas entier, de la loi gamma. La loi est dénommée en l'honneur de John Wishart qui la formula pour la première fois en 1928.
C'est une famille de lois de probabilité sur les matrices définies positives, symétriques. Une variable aléatoire de loi de Wishart est donc une matrice aléatoire. Trois lois sont d'une grande importance dans l'estimation des matrices de variance-covariance.
Si une variable aléatoire X suit une loi de Wishart, on notera ou
Supposons que Y est une matrice n×p, les lignes sont des vecteurs aléatoires indépendants et suivent une loi normale p-dimensionnelle centrée :
Alors la loi de Wishart est la loi de probabilité de la matrice p×p
connue sous le nom matrice de dispersion. L'entier naturel n est le nombre de degrés de liberté. Pour n>p, la matrice X est inversible avec probabilité 1 si V est inversible. Si p=1 et V=1, alors la loi de Wishart est la loi du χ2 à n degrés de liberté.
La loi de Wishart apparait comme la loi d'une matrice de covariance d'un échantillon de valeurs suivant une loi normale multidimensionnelle. Elle apparait fréquemment dans les tests de maximum de vraisemblance en analyse statistique multivariée. Elle apparait également en théorie spectrale des matrices aléatoires et en analyse bayésienne multidimensionnelle.
La loi de Wishart peut être caractérisée par sa densité de probabilité de la manière suivante. On fixe V une matrice p×p symétrique définie positive (paramètre d'échelle). Si n≥p, alors la densité de probabilité de la loi de Wishart est donnée par :
pour toute matrice p×p X symétrique définie positive, et où Γp est la fonction gamma multidimensionnelle définie par :
En fait la définition précédente peut être étendue à tout réel n≥p. Si n
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