Intégrale de Bochner

En mathématiques, l'intégrale de Bochner, qui porte le nom de son créateur Salomon Bochner, étend la définition de l'intégrale de Lebesgue aux fonctions à valeurs dans un espace de Banach, comme limite d'intégrales de fonctions étagées. Soit (X, Σ, μ) un espace mesuré. On cherche à construire l'intégrale pour des fonctions définies sur X à valeurs dans un espace de Banach B. L'intégrale de Bochner est définie de manière similaire à l'intégrale de Lebesgue. Tout d'abord une fonction étagée est n'importe quelle somme finie de la forme : où les E sont des membres de la σ-algèbre Σ, les b sont des éléments de B, et χ est la fonction caractéristique de E, aussi appelée fonction indicatrice. Si μ(E) est finie quel que soit b ≠ 0, alors la fonction étagée est intégrable et l'intégrale est définie par : exactement comme pour l'intégrale ordinaire de Lebesgue (on vérifie que cette définition n'est pas ambigüe, bien que l'on n'impose pas aux E d'être disjoints). Une est intégrable au sens de Bochner s'il existe une suite de fonctions étagées intégrables s telle que : où l'intégrale dans le membre de gauche est une intégrale ordinaire de Lebesgue. Dans ce cas, l'intégrale de Bochner est définie par : Une fonction est intégrable au sens de Bochner si, et seulement si, elle appartient à l' L. De nombreuses propriétés familières de l'intégrale de Lebesgue restent vraies pour l'intégrale de Bochner. Le critère d'intégrabilité de Bochner est particulièrement utile, il établit que si (X, Σ, μ) est un espace mesuré, alors une fonction mesurable au sens de Bochner ƒ : X → B est intégrable au sens de Bochner si et seulement si : Une fonction ƒ : X → B est dite mesurable au sens de Bochner si elle est égale μ-presque partout à une fonction g à valeurs dans un sous-espace séparable B de B, et telle que l'image inverse g(U) de toute partie ouverte U dans B appartient à Σ. De manière équivalente, ƒ est la limite μ-presque partout d'une suite de fonctions étagées.