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Concept
Intégrale de Lebesgue
Résumé
En mathématiques, l’intégrale de Lebesgue désigne à la fois une théorie relative à l'intégration et à la mesure, et le résultat de l'intégration d'une fonction à valeurs réelles définie sur (ou sur ) muni de la mesure de Lebesgue.
Généralisant l'intégrale de Riemann, l'intégrale de Lebesgue joue un rôle important en analyse, en théorie des probabilités et dans beaucoup d'autres domaines des mathématiques.
Dans les cas simples, l'intégrale d'une fonction positive f peut être vue comme l'aire comprise entre l'axe des x (l'axe horizontal) et la courbe de la fonction f. En étendant cette notion, la construction de l'intégrale de Lebesgue s’applique à un ensemble plus riche de fonctions définies sur des espaces plus généraux que ou .
Après la construction de l'intégrale de Cauchy-Riemann, l’intérêt s’est porté sur des extensions du théorème fondamental du calcul intégral :
Les études réalisées sur l'intégrale de Riemann aboutissent au théorème suivant qui est le « meilleur qu'on sache démontrer » :
Cependant, il existe des fonctions F dérivables sur [a, b] sans que leur dérivée soit Riemann-intégrable.
L'objectif premier de l'intégrale de Lebesgue est de lever cette restriction afin de satisfaire à l'énoncé :
Par la suite, d’autres constructions d'une intégrale ont été élaborées (intégrale de Kurzweil-Henstock, Denjoy, Perron, Khintchine, etc.) et elles satisfont à l'énoncé plus général
Avant les travaux d’Henri Lebesgue, la théorie de l'intégration s'appuyait sur l'intégrale de Riemann, mais celle-ci était plutôt insatisfaisante pour diverses raisons : problème de définition « efficace » des intégrales dites impropres (par exemple l’intégrale de Dirichlet), difficulté à établir des théorèmes de convergence...
En concevant son intégrale, Lebesgue l'a lui-même comparée à l'intégrale de Riemann : Pour comprendre cette phrase, il faut préciser que l'intégration de Riemann « parcourt » le segment et exploite au fur et à mesure la « hauteur » y de la fonction, alors que l'intégration de Lebesgue exploite la « taille » des ensembles de niveau f = y pour toutes les valeurs de y.
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