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Concept
Modèle de Debye
Résumé
En physique statistique et en physique du solide, le modèle de Debye est une explication, développée par Peter Debye en 1912, du comportement de la capacité thermique des solides en fonction de la température. Il consiste à étudier les vibrations du réseau d'atomes formant le solide, autrement dit, les phonons.
Ce modèle permet d'expliquer précisément les relevés expérimentaux, alors que le modèle d'Einstein, fondé sur la notion d'oscillateur harmonique quantique, présentait une légère différence. Le modèle de Debye rejoint également la loi de Dulong et Petit à haute température.
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Le modèle de Debye est analogue à l'obtention de la loi de Planck sur le rayonnement du corps noir. Le second traite un ensemble de photons, alors que le premier traite un ensemble de phonons.
On suppose, pour simplifier, que le solide a une forme cubique de côté L. Pour un certain cristal cubique, chaque mode aura au minimum un atome par ventre, ce qui limite le nombre de modes disponibles en fonction du nombre d'atomes dans chacune des dimensions du réseau cristallin (ceci empêche l'équivalent d'une « catastrophe ultraviolette » que l'on obtiendrait si l'on effectuait une somme sur un nombre infini de modes). Les phonons susceptibles d'exister doivent, à la manière de la vibration d'une corde de guitare, ne pas vibrer aux extrémités (voir figure ci-contre). On en déduit alors que les longueurs d'onde possibles sont données par :
où n est un entier naturel non nul.
Or l'énergie d'un phonon est donnée par :
avec
où est la constante de Planck et est la constante de Planck réduite, le vecteur d'onde du phonon, et sa vitesse.
Cela correspond, en trois dimensions, à l'expression :
Il est alors possible de faire la somme de ces énergies pour tous les phonons présents. Pour cela, il faut utiliser la statistique de Bose-Einstein, donnant la distribution des énergies dans l'ensemble des phonons, à la température T.
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