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Concept
Décomposition de Schur
Résumé
En algèbre linéaire, une décomposition de Schur (nommée après le mathématicien Issai Schur) d'une matrice carrée complexe M est une décomposition de la formeoù U est une matrice unitaire (UU = I) et A une matrice triangulaire supérieure.
On peut écrire la décomposition de Schur en termes d'applications linéaires :
Dans le cas où est l'application nulle, l'énoncé est directement vérifié, on peut donc se contenter de traiter le cas où est différente de l'application nulle.
On démontre par récurrence forte sur la dimension de le résultat énoncé. L'initialisation est triviale, pour l'hérédité on considère deux cas différents :
Si la matrice associée à dans une base quelconque est diagonalisable, alors on peut choisir un vecteur propre normé de . On pose et on considère l'application linéaire où est le projecteur orthogonal sur et la restriction de à . Comme est un endomorphisme de l'espace vectoriel qui est de dimension , l'hypothèse de récurrence assure l'existence d'une base orthonormée de dans laquelle la matrice associée à est triangulaire supérieure. Il est alors clair que forme une base orthonormée dans laquelle la matrice associée à est triangulaire supérieure.
Si la matrice associée à dans une base quelconque n'est pas diagonalisable on a l'inégalité . On pose alors et on considère l'application linéaire où est le projecteur orthogonal sur et la restriction de à . Comme on peut utiliser l'hypothèse de récurrence qui assure l'existence d'une base orthonormée de dans laquelle la matrice associée à est triangulaire supérieure. On complète cette base en une base orthonormée de . Comme ,
il est clair que la matrice associée à est triangulaire supérieure dans cette même base. Cela termine la récurrence.
Il existe une telle décomposition (non unique en général) pour toute matrice carrée complexe M.
A étant semblable à M, elle a les mêmes valeurs propres. Et A étant triangulaire, les valeurs propres se trouvent sur sa diagonale.
Puisque A = UMU, si M est normale (MM = MM) alors A aussi donc (comme elle est de plus triangulaire) elle est diagonale.
Source officielle
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