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Concept
Décomposition d'une matrice en éléments propres
Résumé
En algèbre linéaire, la décomposition d'une matrice en éléments propres est la factorisation de la matrice en une forme canonique où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des valeurs propres et des vecteurs propres.
Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée A à N lignes et N colonnes si et seulement si il existe un scalaire λ tel que :
où λ est appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».
Ces valeurs propres sont les solutions de l'équation :
On appelle p(λ) le polynôme caractéristique de A, et cette équation, l'équation caractéristique, est une équation polynomiale de degré N dont λ est l'inconnue. Cette équation admet Nλ solutions distinctes, avec 1 ≤ Nλ ≤ N. L'ensemble des solutions, i. e. des valeurs propres, est appelé le spectre de A.
On peut factoriser p :
avec
Pour chaque valeur propre λi, on a une équation particulière :
qui admet mi vecteurs solutions linéairement indépendants, formant une base de l'espace de toutes les solutions (le sous-espace propre associé à la valeur propre λi). Il est important de remarquer que cette multiplicité géométrique mi peut être égale ou pas à la multiplicité algébrique ni, mais qu'on a toujours : 1 ≤ mi ≤ ni.
Le cas le plus simple est évidemment mi = ni = 1.
Le nombre de vecteurs propres indépendants de la matrice, noté ici Nv, est égal à la somme :
Les vecteurs propres peuvent alors être indexés par leurs valeurs propres respectives, avec un double indice : on appellera alors vi,j le j-ième vecteur propre associé à la i-ième valeur propre. Les vecteurs propres peuvent aussi être notés plus simplement, avec un seul indice : vk, avec k = 1, 2, ... , Nv.
Soit A une matrice carrée (N lignes et N colonnes) admettant N vecteurs propres linéairement indépendants, Alors, A peut s'écrire sous la forme :
Où la matrice de passage Q est une matrice carrée (à N lignes et N colonnes) dont la i-ième colonne est le vecteur propre de A et Λ est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres, i.
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