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Concept
Principe de grandes déviations
Résumé
Le principe de grandes déviations, en théorie des probabilités, concerne le comportement asymptotique de queues de suite de loi de probabilités. Quelques premières idées de la théorie ont été données par Laplace et Cramér ; depuis, une définition formelle a été introduite en 1966 par Varadhan. La théorie des grandes déviations formalise les idées heuristiques de la concentration des mesures et généralise la notion de convergence en loi.
La théorie des grandes déviations concerne la décroissance exponentielle des mesures de probabilité de certains types d'évènements extrêmes ou de queue, lorsque le nombre d'observations est arbitrairement grand.
Soit une suite de pile ou face indépendants (non biaisés). Notons par X le résultat du i-ième lancer, où face donne X = -1 et pile donne X = 1. Soit M, la moyenne après N lancers, c'est-à-dire
Ainsi M est compris entre -1 et 1. En utilisant la loi des grands nombres, on déduit que M est de plus en plus proche de 0, avec une probabilité croissante, quand N est de plus en plus grand. Donnons une explication plus précise. Pour une valeur 0 < x < 1 fixée, calculons la probabilité . Définissons
Alors, par l'inégalité de Chernoff, on peut montrer que . Cette borne est optimale dans le sens où I(x) ne peut pas être remplacé par un nombre plus grand qui assurerait l'inégalité pour tout N strictement positif (bien que la borne exponentielle puisse toujours être réduite à un facteur sous-exponentiel près de l'ordre de 1/ ). La probabilité décroit exponentiellement rapidement quand N est grand, à une vitesse dépendant de x.
Dans l'exemple ci-dessus avec des lancers de pièces, chaque lancer est indépendant des autres, et les probabilités sont les mêmes pour chaque lancer. Autrement dit, les variables aléatoires X sont i.i.d. (indépendantes et identiquement distribuées). Pour des variables i.i.d. dont la loi commune vérifie une certaine condition de croissance, la théorie des grandes déviations assure que la limite suivante existe :
La fonction I est appelée la "fonction de taux" ou "fonction de Cramér" ou parfois "entropie".
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