vignette|Les premières fonctions de Walsh, où j est le numéro de la fonction, km est le nombre de bits de la fonction numéro j mais en code gris et x est la variable dyadique.
Les fonctions de Walsh, nommées d'après Joseph L. Walsh, sont un ensemble de fonctions qui forment une base hilbertienne de l'espace L([0, 1]) des fonctions de carré intégrable sur l'intervalle unité.
Ces fonctions prennent uniquement les valeurs –1 et 1, sur des sous-intervalles définis par les fractions dyadiques. Elles sont utiles en électronique et d'autres applications en ingénierie.
Les fonctions orthogonales de Walsh sont utilisées pour effectuer les transformées de Hadamard, qui sont très similaires aux sinusoïdales orthogonales employées dans le cadre de la transformée de Fourier. Les fonctions de Walsh partagent également des similitudes avec l'ondelette de Haar. Le système de Haar est toutefois préférable dans certaines situations où la localisation est nécessaire (alors que les fonctions de Walsh sont bornées) ou d'autres caractéristiques propres aux ondelettes doivent être respectées.
L'ordre de la fonction est 2, où s est un entier, ce qui signifie qu'il y a 2 intervalles où la valeur est égale à –1 ou 1.
Une liste de 2 fonctions de Walsh forme une matrice de Hadamard. Une manière de définir les fonctions de Walsh consistent à utiliser la représentation binaire des entiers et des réels. Pour un entier k, on considère la représentation binaire suivante :
pour un entier m avec les k égaux à 0 ou 1. Ensuite, si k est le résultat en code Gray de j – 1, alors la j-ième fonction de Walsh au point x, avec 0 ≤ x < 1, est :
si
où les x sont 0 ou 1.
Les fonctions de Walsh peuvent être interprétées comme les caractères du groupe compact Z des suites à valeurs dans Z. Vu sous cet angle, plusieurs généralisations ont été proposées.
Les applications en mathématiques peuvent être trouvées où des représentations numériques sont utilisées, par exemple dans l'analyse des méthodes numériques de quasi-Monte Carlo.
Méthode de Monte-Carlo
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Hadamard matrix In mathematics, a Walsh matrix is a specific square matrix of dimensions 2^n, where n is some particular natural number. The entries of the matrix are either +1 or −1 and its rows as well as columns are orthogonal, i.e. dot product is zero. The Walsh matrix was proposed by Joseph L. Walsh in 1923. Each row of a Walsh matrix corresponds to a Walsh function. The Walsh matrices are a special case of Hadamard matrices.
Une matrice de Hadamard est une matrice carrée dont les coefficients sont tous 1 ou –1 et dont les lignes sont toutes orthogonales entre elles. Le nom retenu pour ces matrices rend hommage au mathématicien français Jacques Hadamard. Des exemples de telles matrices avaient été donnés par James Joseph Sylvester. Pour une matrice d'ordre , la propriété d'orthogonalité des colonnes peut également s'écrire sous la forme où In est la matrice identité d'ordre et t est la matrice transposée de .
La transformée de Hadamard (aussi connue sous le nom de « transformée de Walsh-Hadamard ») est un exemple d'une classe généralisée d'une transformée de Fourier. Elle est nommée d'après le mathématicien français Jacques Hadamard et effectue une opération linéaire et involutive avec une matrice orthogonale et symétrique sur 2 nombres réels (ou complexes, bien que les matrices utilisées possèdent des coefficients réels). Ces matrices sont des matrices de Hadamard.
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