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Concept
Matrice de Hadamard
Résumé
Une matrice de Hadamard est une matrice carrée dont les coefficients sont tous 1 ou –1 et dont les lignes sont toutes orthogonales entre elles. Le nom retenu pour ces matrices rend hommage au mathématicien français Jacques Hadamard. Des exemples de telles matrices avaient été donnés par James Joseph Sylvester.
Pour une matrice d'ordre , la propriété d'orthogonalité des colonnes peut également s'écrire sous la forme
où In est la matrice identité d'ordre et t est la matrice transposée de .
Exemples :
Une matrice réelle d'ordre , dont les éléments sont bornés, atteint l'égalité dans l'inégalité de Hadamard
si et seulement si c'est une matrice de Hadamard.
Certaines opérations élémentaires transforment une matrice de Hadamard en une autre : permutation de lignes ou de colonnes, multiplication d'une ligne ou d'une colonne par -1.
La transposée d'une matrice de Hadamard est encore une matrice de Hadamard.
Les premiers exemples de matrices de Hadamard sont dus au mathématicien James Joseph Sylvester.
La construction est basée sur la propriété suivante. Si est une matrice de Hadamard d'ordre , alors la matrice
est une matrice de Hadamard d'ordre .
En appliquant cette construction de façon itérative, on construit la suite des matrices de Walsh, ou de Sylvester
puis (en utilisant la notation du produit de Kronecker)
Les matrices construites par la méthode de Sylvester ont certaines propriétés intéressantes. Ce sont des matrices symétriques de trace nulle. Les éléments de la première colonne et de la première ligne sont tous positifs. Dans chaque autre ligne ou colonne, la moitié des éléments est positive.
Ces matrices sont étroitement liées aux fonctions de Walsh.
L'ordre d'une matrice de Hadamard est nécessairement 1, 2 ou un multiple de 4.
La construction de Sylvester montre qu'il existe des matrices de Hadamard d'ordre 2k pour tout entier naturel k.
La construction de matrices de Hadamard d'ordres 12 et 20 est due à Hadamard lui-même.
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