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Concept
Transformée de Hadamard
Résumé
La transformée de Hadamard (aussi connue sous le nom de « transformée de Walsh-Hadamard ») est un exemple d'une classe généralisée d'une transformée de Fourier. Elle est nommée d'après le mathématicien français Jacques Hadamard et effectue une opération linéaire et involutive avec une matrice orthogonale et symétrique sur 2 nombres réels (ou complexes, bien que les matrices utilisées possèdent des coefficients réels).
Ces matrices sont des matrices de Hadamard.
La transformée de Hadamard peut être vue comme étant issue d'une transformée de Fourier discrète et s'avère être en fait l'équivalent d'une transformée de Fourier discrète multidimensionnelle d'une taille de 2×2×...×2×2.
Elle décompose un vecteur arbitraire en entrée en une superposition de fonctions de Walsh.
La transformée de Hadamard H utilise une matrice 2×2 (une matrice de Hadamard) multipliée par un facteur de normalisation, et transforme 2 nombres réels x en 2 nombres réels X. La transformée peut être définie de deux manières : récursivement ou en utilisant une représentation binaire des indices n et k.
Récursivement, on définit une première transformation 1×1 via une matrice H qui est la matrice identité avec un seul élément (1). On définit ensuite H pour m > 0 grâce à la relation suivante :
où 1/ est un facteur de normalisation qui est parfois omis. Ainsi, à l'exception de la normalisation, les coefficients de la matrice sont égaux à 1 ou -1.
De manière équivalente, on peut définir l'élément (k,n) d'une matrice de Hadamard grâce à et , où k et n sont le bit j (0 ou 1) de respectivement k et n. Dans ce cas, on obtient
Il s'agit d'une transformée de Fourier discrète 2×2×...×2×2 normalisée de manière à être unitaire, si l'on considère les entrées et les sorties comme des tableaux multidimensionnels indexés par n et k.
Les premières matrices de Hadamard sont données par :
Les lignes d'une matrice de Hadamard forment des fonctions de Walsh.
Dans le traitement de l'informatique quantique, la transformation de Hadamard, plus souvent appelée « porte de Hadamard » dans ce contexte, est une rotation d'un qubit.
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