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Concept
Équations d'Euler
Résumé
En mécanique des fluides, les équations d'Euler sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent l'écoulement des fluides (liquide ou gaz) dans l’approximation des milieux continus. Ces écoulements sont adiabatiques, sans échange de quantité de mouvement par viscosité ni d'énergie par conduction thermique.
L'histoire de ces équations remonte à Leonhard Euler qui les a établies pour des écoulements incompressibles (1757). La relation avec la thermodynamique est due à Pierre-Simon de Laplace (1816) et l'explication des discontinuités à Bernhard Riemann (1860) dont les travaux ont précédé ceux de Rankine et Hugoniot.
Équation de conservation
On peut définir une loi de conservation pour une variable intensive φ entraînée à la vitesse V et comportant un terme de production volumique S par :
La formulation la plus utilisée fait appel à un référentiel fixe naturel lorsque l'on traite un problème stationnaire ou instationnaire dans lequel le domaine de calcul est connu à l'avance. On fait alors appel aux variables eulériennes.
On obtient le système d'Euler en appliquant la relation de conservation ci-dessus à la masse volumique ρ, à la quantité de mouvement ρ V et à l'énergie totale ρE.
Équation de continuité (équation de bilan de la masse)
Équation de bilan de la quantité de mouvement
Équation de bilan de l'énergie
Dans ces équations :
t représente le temps (unité SI : s) ;
ρ désigne la masse volumique du fluide (unité SI : ) ;
V désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : ) ;
p désigne la pression thermodynamique (unité SI : Pa) ;
désigne le tenseur unité ;
g(x , t) désigne la gravité ou toute autre force massique extérieure (unité SI : ) ;
E désigne l'énergie totale par unité de masse (unité SI : ) ; elle s'exprime en fonction de l'énergie interne par unité de masse e par :
Le système doit être fermé par une relation thermodynamique, par exemple celle reliant l'énergie interne aux autres valeurs f (e, ρ, p) = 0. Pour un gaz parfait :
où est le rapport des chaleurs spécifiques à pression et volume constant, respectivement.
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