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Concept
Droite projective
Résumé
En géométrie, une droite projective est un espace projectif de dimension 1.
En première approche (en oubliant sa structure géométrique), la droite projective sur un corps , notée , peut être définie comme l'ensemble des droites vectorielles du plan vectoriel . Cet ensemble s'identifie à la droite à laquelle on ajoute un point à l'infini.
La notion de droite projective se généralise en remplaçant le corps par un anneau.
Une droite vectorielle de , et donc un point de la droite projective ,
est définie par un point de cette droite autre que l'origine.
Autrement dit, un point sur la droite projective est représenté par une paire de la forme :
où ne sont pas tous deux nuls. On dit que la paire est un système de coordonnées homogènes de ce point.
Ce point de correspond à la droite de d'équation .
Deux telles paires et représentent donc le même point de si elles ne diffèrent que par un facteur non nul λ :
On a défini ainsi une relation d'équivalence sur
et est l'ensemble quotient de par cette relation d'équivalence,
ou encore le quotient de
par l'action par homothéties du groupe multiplicatif .
On peut K identifier au sous-ensemble de donné par :
(l'élément de correspond à la droite de d'équation ).
Ce sous-ensemble couvre tous les points de , excepté le point à l'infini
(correspondant à la droite de d'équation ).
Le groupe linéaire GL(2, K) agit sur et cette action passe au quotient.
Comme les homothéties donnent l'identité par passage au quotient, on obtient une action du groupe quotient , noté PGL(2, K) et appelé groupe des homographies.
Soit une application linéaire inversible.
L'homographie correspondante est donnée, avec les conventions du paragraphe ci-dessus, par
si est différent de .
Pour , on a .
L'image du point à l'infini est .
Si , alors est une transformation affine : les transformations affines apparaissent comme les homographies qui conservent le point à l'infini.
L'action de PGL(2, K) sur P(K) est strictement 3-transitive, c'est-à-dire qu'étant donné deux triplets de points deux à deux distincts et , il existe une homographie et une seule telle que
(pour le montrer, on peut se ramener par composition au cas particulier ).
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