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Concept
Série L de Dirichlet
Résumé
thumb|Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859).
En mathématiques, une série L de Dirichlet est une série du plan complexe utilisée en théorie analytique des nombres.
Par prolongement analytique, cette fonction peut être étendue en une fonction méromorphe sur le plan complexe entier.
Elle est construite à partir d'un caractère de Dirichlet et, dans le cas du caractère trivial, la fonction L de Dirichlet est la fonction zêta de Riemann.
Elle est nommée ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, qui l'a utilisée pour démontrer son théorème de la progression arithmétique.
Soit χ un caractère de Dirichlet. La série L de Dirichlet associée, notée L( , χ), est définie par :.
La série L de Dirichlet associée à un caractère modulo N est une combinaison linéaire des séries zêta de Hurwitz pour q = j/N avec j = 1, 2, ... , N.
Plus précisément, soit χ un caractère modulo N. Alors,
Par conséquent, de même que les séries , la série
converge sur le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1 ;
se prolonge analytiquement sur le plan complexe en une fonction méromorphe avec au plus un pôle, simple, au point 1. Ce prolongement est appelé fonction L de Dirichlet et est encore noté , et son résidu au point 1 est :.
En particulier, la fonction L de Dirichlet du caractère trivial (N = 1) est la fonction zêta de Riemann , dont le résidu au point 1 est, comme celui de toutes les fonctions zêta de Hurwitz, égal à 1.
Le comportement des séries au point 1 est la clé du théorème de la progression arithmétique. C'est la raison pour laquelle Dirichlet définit ces séries.
Le point 1 est un pôle de la fonction L pour le caractère principal, mais pas pour les autres caractères.
Ici, N désigne le modulo des caractères étudiés.
Si χ est le caractère principal, = φ(N)/N > 0.
Si χ n'est pas principal, il est orthogonal au caractère principal (cf. § « L'espace hermitien C » de l'article « Caractère d'un groupe fini »), c'est-à-dire quedonc .
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