Théorème de Carlson
En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, le théorème de Carlson est un théorème d'unicité découvert par . De manière informelle, il énonce que deux fonctions analytiques distinctes qui ne croissent pas trop vite ne peuvent pas coïncider sur les entiers. Le théorème est une conséquence du principe de Phragmén-Lindelöf, lui-même corollaire du principe du maximum. Le théorème de Carlson est usuellement invoqué pour démontrer l'unicité du développement en série de Newton. Il possède des généralisations pour d'autres développements. Soit satisfaisant les trois conditions suivantes : les deux premières portent sur la croissance asymptotique de , tandis que la troisième assure l'annulation de sur les entiers positifs. est une fonction entière de type exponentielle, i.e. Pour des réels , donnés. Il existe tel que pour tout positif. Alors est identiquement nulle. La première hypothèse peut-être affaiblie comme suit : est analytique sur le plan , continue sur , et satisfaisant pour , réels. Pour vérifier que la deuxième hypothèse ne peut pas être affaiblie, considérons . Elle s'annule sur les entiers ; cependant, sa croissance sur l'axe imaginaire est exponentielle avec , et est non identiquement nulle. Un résultat dû à Rubel (1956), affaiblie cette dernière condition . Plus précisément, Rubel à montrer que le théorème reste valide si ne s'annule que sur un ensemble de densité supérieure égale à 1, i.e. Cette condition est optimale. Soit une fonction possédant des différences finies . Considérons la série de Newton avec le coefficient binomial et la -ième différence itérée. Par construction, pour tous positif, montrant que . C'est la troisième hypothèse du théorème; si obéit aux deux autres, alors est nulle, et est déterminée par sa série de Newton. Série de Newton Théorème de Mahler F. Carlson, Sur une classe de séries de Taylor, (1914) Dissertation, Uppsala, Sweden, 1914. cor 21(1921) . E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions ( Ed) (1939) Oxford University Press (See section 5.81) R. P. Boas, Jr.