Différence finie

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une différence finie est une expression de la forme f(x + b) − f(x + a) (où f est une fonction numérique) ; la même expression divisée par b − a s'appelle un taux d'accroissement (ou taux de variation), et il est possible, plus généralement, de définir de même des différences divisées. L'approximation des dérivées par des différences finies joue un rôle central dans les méthodes des différences finies utilisées pour la résolution numérique des équations différentielles, tout particulièrement pour les problèmes de conditions aux limites. Les opérateurs mettant en jeu des différences finies, appelés opérateurs de différence, font l'objet d'une branche de l'analyse mathématique possédant de nombreux points communs avec la théorie des opérateurs différentiels ; certaines de ces analogies ont été systématisées et exploitées par le calcul ombral. On considère en général uniquement les différences « en avant », « en arrière » et « centrées ». L'opérateur de différence avant, , est défini par où h est le plus souvent une constante, qu'on appelle le pas. De même, l'opérateur de différence arrière, , est défini par Enfin, l'opérateur de différence centrée, , est défini par Le nombre dérivé d'une fonction f en un point x est défini par la limite Si h a une valeur fixée (non nulle), le terme de droite est Ainsi, la différence avant divisée par h approxime le nombre dérivé quand h est petit. L'erreur de cette approximation peut être déterminée à l'aide de la formule de Taylor. Supposant que f est continument dérivable, (où O est une notation de Landau). La même formule est valable pour la différence arrière : Cependant, la différence centrale donne une approximation plus précise ; son erreur est proportionnelle au carré du pas (si f est de classe ) : En analyse non standard, on définit directement la dérivée comme l’ombre (le réel standard le plus proche) d’une différence finie de pas infinitésimal. De manière analogue, on peut obtenir des approximations de dérivées d'ordre supérieur.