Fonction d'Airy

La fonction d'Airy Ai est une des fonctions spéciales en mathématiques, c'est-à-dire une des fonctions remarquables apparaissant fréquemment dans les calculs. Elle porte le nom de l'astronome britannique George Biddell Airy, qui l'introduisit pour ses calculs d'optique, notamment lors de l'étude de l'arc-en-ciel. La fonction d'Airy Ai et la fonction Bi, qu'on appelle fonction d'Airy de seconde espèce, sont des solutions de l'équation différentielle linéaire d'ordre deux connue sous le nom d'équation d'Airy. La fonction d'Airy est définie en tout x réel par la formule qui forme une intégrale semi-convergente (cela peut être prouvé par une intégration par parties). Un théorème de dérivation des intégrales à paramètres permet de montrer que Ai est solution de l'équation d'Airy avec pour conditions initiales où Γ désigne la fonction Gamma d'Euler. La fonction possède notamment un point d'inflexion en x = 0. Dans le domaine x > 0, Ai(x) est positive, concave, et décroît exponentiellement vers 0. Dans le domaine x < 0, Ai(x) oscille autour de la valeur 0 avec une fréquence de plus en plus forte et une amplitude de plus en plus faible à mesure que –x grandit. C'est ce que confirment les équivalents aux bornes : Les solutions de l'équation d'Airy (autres que la solution nulle) ont également un comportement oscillant dans le domaine x