Fonction de Bessel

En mathématiques, et plus précisément en analyse, les fonctions de Bessel, appelées aussi quelquefois fonctions cylindriques, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel. Bessel développa l'analyse de ces fonctions en 1816 dans le cadre de ses études du mouvement des planètes induit par l'interaction gravitationnelle, généralisant les découvertes antérieures de Bernoulli. Ces fonctions sont des solutions canoniques y(x) de l'équation différentielle de Bessel : pour tout nombre réel ou complexe α. Le plus souvent, α est un entier naturel (alors appelé lordre de la fonction), ou un demi-entier. Il existe deux sortes de fonctions de Bessel : les fonctions de Bessel de première espèce, Jn, solutions de l'équation différentielle ci-dessus qui sont définies en 0 ; les fonctions de Bessel de seconde espèce, Yn, solutions qui ne sont pas définies en 0 (mais qui ont une limite infinie en 0). Les représentations graphiques des fonctions de Bessel ressemblent à celles des fonctions sinus ou cosinus, mais s'amortissent comme s'il s'agissait de fonctions sinus ou cosinus divisées par un terme de la forme . Les fonctions de Bessel sont aussi connues sous le nom de fonctions cylindriques, ou d'harmoniques cylindriques, parce qu'elles font partie des solutions de l'équation de Laplace en coordonnées cylindriques (intervenant, par exemple, dans la propagation de la chaleur dans un cylindre). Elles interviennent dans beaucoup de problèmes physiques présentant une symétrie cylindrique: les ondes électromagnétiques ou les ondes acoustiques dans un guide cylindrique (antenne ou tuyau) ; les modes de vibration d'une fine membrane circulaire ou annulaire ; l'étude d'instruments d'optique comme les fibres optiques constituées d'un cœur et d'une gaine optique concentriques; le pendule de Bessel ; les phénomènes de diffraction par une fente circulaire ; l'étude de la modulation de fréquence en télécommunications.