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Concept
Lagrangien (théorie des champs)
Résumé
La théorie lagrangienne des champs est un formalisme de la théorie classique des champs.
C'est l'analogue de la théorie des champs de la mécanique lagrangienne. La mécanique lagrangienne est utilisée pour analyser le mouvement d'un système de particules discrètes chacune ayant un nombre fini de degrés de liberté. La théorie lagrangienne des champs s'applique aux continus et aux champs, qui ont un nombre infini de degrés de liberté.
L'une des motivations du développement du formalisme lagrangien sur les champs, et plus généralement de la théorie classique des champs, est de fournir une base mathématique propre pour la théorie quantique des champs, qui est notoirement en proie à des difficultés formelles qui la rendent inacceptable en tant que théorie mathématique. Les lagrangiens présentés ici sont identiques à leurs équivalents quantiques, mais, en traitant les champs comme des champs classiques, et non comme des champs quantiques, on peut fournir des définitions et obtenir des solutions aux propriétés compatibles avec l'approche formelle classique des mathématiques des équations aux dérivées partielles. Cela permet de formuler des solutions sur des espaces aux propriétés bien caractérisées, comme les espaces de Sobolev. Elle permet de fournir différents théorèmes, allant des preuves d'existence à la convergence uniforme de séries formelles, jusqu'aux cadres généraux de la théorie du potentiel. De plus, l'intuition et la clarté sont obtenues par des généralisations aux variétés riemanniennes et aux faisceaux de fibres, permettant à la structure géométrique d'être clairement discernée et démêlée des équations de mouvement correspondantes. Une vision plus claire de la structure géométrique a, à son tour, permis d'utiliser des théorèmes très abstraits de la géométrie pour mieux comprendre, allant du théorème de Chern-Gauss-Bonnet et du théorème de Riemann-Roch au théorème de l'indice d'Atiyah-Singer et à la théorie de Chern-Simons.
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