Théorèmes abéliens et taubériens

En mathématiques, et plus précisément en analyse, on appelle théorèmes abéliens et taubériens des théorèmes donnant des conditions pour que des méthodes distinctes de sommation de séries aboutissent au même résultat. Leurs noms viennent de Niels Henrik Abel et Alfred Tauber, les premiers exemples en étant le théorème d'Abel montrant que la sommation d'Abel d'une série convergente a pour valeur la somme de cette série, et le théorème de Tauber montrant que si la sommation d'Abel est possible, et que les coefficients de la série considérée sont suffisamment petits, alors la série converge (vers sa somme d'Abel). De manière générale, les théorèmes abéliens donnent des conditions pour que deux méthodes de sommation aboutissent au même résultat (et, le plus souvent, pour que ce résultat soit la somme usuelle de la série lorsque celle-ci converge) ; les théorèmes taubériens donnent des conditions sur une série pour que, si elle est sommable par une méthode donnée, elle soit en fait convergente (vers la même somme). Mais il n'existe pas réellement de définition universellement acceptée de la signification de ces termes. Pour une méthode de sommation donnée, L, le théorème abélien correspondant affirme que si c = (cn) est une suite convergente de limite C, alors L(c) = C. Un exemple est donné par la méthode de Cesàro (d'ordre 1), où l'on prend pour L la limite des moyennes arithmétiques des N premiers termes de c, quand N tend vers l'infini : on montre que si c converge vers C, il en est de même de la suite (dN), où dN = (c1 + c2 + ... +cN)/N (ce résultat s'appelle le lemme de Cesàro). Le nom de ces théorèmes vient du théorème d'Abel sur les séries entières. Dans ce cas, L est la limite radiale de la série entière de terme général anzn, obtenue en posant z = r·e iθ et en faisant tendre r vers 1 par valeurs inférieures ; cette méthode n'a évidemment d'intérêt que si le rayon de convergence de la série vaut 1, et dans ce cas, le théorème d'Abel affirme que la limite radiale de la série est égale à sa valeur en r=1 si la série converge en ce point (on trouvera dans l'article série alternée des entiers l'exemple classique donné par Euler du calcul de la valeur 1-2+3-.