Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Série divergente
Résumé
En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n'est pas convergente.
En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence est que le terme général de la série tende vers 0. Par contraposition, cela fournit de nombreux exemples de séries divergentes, par exemple celle dont tous les termes valent 1. Un exemple de série divergente dont le terme général tend vers 0 est la série harmonique :
Dans certains cas, il est malgré tout possible d'attribuer une valeur finie (on parle aussi d'antilimite) à la série en usant d'une procédure dite de « sommation », ou de « sommabilité », dont il existe plusieurs variantes. La série de Grandi 1 – 1 + 1 – 1 + 1... se voit ainsi par exemple attribuer la valeur 1/2. Les valeurs ainsi obtenues n'ont souvent aucun rapport avec les sommes partielles de la série, ce qui conduit à des écritures paradoxales telles que 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = -1/12.
En physique théorique, dans de nombreuses situations, on ne peut calculer des solutions qu'au moyen de la théorie des perturbations, qui fournit des résultats sous la forme de séries qui sont le plus souvent divergentes ; l'utilisation de sommes partielles convenables donne cependant d'excellentes approximations numériques. De façon plus surprenante, les valeurs obtenues par des méthodes de sommation telles que la régularisation zêta ont souvent un sens physique, par exemple dans le calcul de l'effet Casimir.
La notion de convergence a donné lieu chez les mathématiciens grecs à des interrogations « philosophiques » bien représentées par les paradoxes de Zénon ; de plus, la convergence (ou non) de certaines séries telle que la série harmonique (dont la divergence a été démontrée au Moyen Âge par le mathématicien Nicole Oresme), nullement intuitive, demande des définitions précises. Bien que celles-ci n'aient été données rigoureusement qu'au , la non-convergence de la série de Grandi, ou la divergence grossière de la série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ est clairement comprise dès le .
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.