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Concept
Égalité de Parseval
Résumé
L'égalité de Parseval dite parfois théorème de Parseval ou relation de Parseval est une formule fondamentale de la théorie des séries de Fourier. On la doit au mathématicien français Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755-1836). Elle est également appelée identité de Rayleigh du nom du physicien John William Strutt Rayleigh. Cette formule peut être interprétée comme une généralisation du théorème de Pythagore pour les séries dans les espaces de Hilbert.
Dans de nombreuses applications physiques (courant électrique par exemple), cette formule peut s'interpréter comme suit : l'énergie totale s'obtient en sommant les contributions des différents harmoniques. L'énergie totale d'un signal ne dépend pas de la représentation choisie : fréquentielle ou temporelle.
Inégalité de Bessel
Le théorème suivant est démontré dans l'article détaillé.
Soit f une fonction T-périodique et de carré intégrable sur une période (c'est donc valable notamment pour une fonction T-périodique et continue par morceaux). On définit ses coefficients de Fourier :
L'égalité de Parseval affirme la convergence de la série suivante et énonce l'identité :
Si la fonction f est à valeurs réelles, on peut adopter les conventions suivantes :
L'égalité de Parseval devient :
Attention : certains auteurs préfèrent une convention pour laquelle l'expression de a est aussi en 2/T :
La formule de Parseval devient alors :
Ces résultats s'appliquent en particulier au cas d'un espace préhilbertien de dimension finie, par exemple en analyse harmonique sur un groupe abélien fini.
Si deux fonctions de carré intégrable f et g ont le même spectre en fréquences (mêmes coefficients de Fourier), alors les coefficients de Fourier de f – g sont tous nuls (par linéarité) et ║f – g║ = 0. De fait, f et g sont égales presque partout. Si de plus f et g sont continues par morceaux, f et g sont égales hormis au niveau des points de discontinuité de f et de g.
Source officielle
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