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Concept
Égalité de Parseval
Résumé
L'égalité de Parseval dite parfois théorème de Parseval ou relation de Parseval est une formule fondamentale de la théorie des séries de Fourier. On la doit au mathématicien français Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755-1836). Elle est également appelée identité de Rayleigh du nom du physicien John William Strutt Rayleigh. Cette formule peut être interprétée comme une généralisation du théorème de Pythagore pour les séries dans les espaces de Hilbert.
Dans de nombreuses applications physiques (courant électrique par exemple), cette formule peut s'interpréter comme suit : l'énergie totale s'obtient en sommant les contributions des différents harmoniques. L'énergie totale d'un signal ne dépend pas de la représentation choisie : fréquentielle ou temporelle.
Inégalité de Bessel
Le théorème suivant est démontré dans l'article détaillé.
Soit f une fonction T-périodique et de carré intégrable sur une période (c'est donc valable notamment pour une fonction T-périodique et continue par morceaux). On définit ses coefficients de Fourier :
L'égalité de Parseval affirme la convergence de la série suivante et énonce l'identité :
Si la fonction f est à valeurs réelles, on peut adopter les conventions suivantes :
L'égalité de Parseval devient :
Attention : certains auteurs préfèrent une convention pour laquelle l'expression de a est aussi en 2/T :
La formule de Parseval devient alors :
Ces résultats s'appliquent en particulier au cas d'un espace préhilbertien de dimension finie, par exemple en analyse harmonique sur un groupe abélien fini.
Si deux fonctions de carré intégrable f et g ont le même spectre en fréquences (mêmes coefficients de Fourier), alors les coefficients de Fourier de f – g sont tous nuls (par linéarité) et ║f – g║ = 0. De fait, f et g sont égales presque partout. Si de plus f et g sont continues par morceaux, f et g sont égales hormis au niveau des points de discontinuité de f et de g.
Source officielle
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Concepts associés (4)
Espace de Hilbert
vignette|Une photographie de David Hilbert (1862 - 1943) qui a donné son nom aux espaces dont il est question dans cet article. En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'un produit scalaire euclidien (resp. hermitien), qui permet de mesurer des longueurs et des angles et de définir une orthogonalité. De plus, un espace de Hilbert est complet, ce qui permet d'y appliquer des techniques d'analyse. Ces espaces doivent leur nom au mathématicien allemand David Hilbert.
Parseval's theorem
In mathematics, Parseval's theorem usually refers to the result that the Fourier transform is unitary; loosely, that the sum (or integral) of the square of a function is equal to the sum (or integral) of the square of its transform. It originates from a 1799 theorem about series by Marc-Antoine Parseval, which was later applied to the Fourier series. It is also known as Rayleigh's energy theorem, or Rayleigh's identity, after John William Strutt, Lord Rayleigh.
Carré sommable
En mathématiques, une fonction définie sur un espace mesuré Ω et à valeurs dans R ou C est dite de carré sommable ou de carré intégrable si elle appartient à l’espace L(Ω) des fonctions dont l'intégrale du carré (du module dans le cas des nombres complexes) converge sur Ω. Par exemple, une fonction mesurable de R dans C est de carré sommable lorsque l’intégrale suivante (au sens de Lebesgue) converge, c'est-à-dire si elle existe et correspond ainsi à un nombre fini.