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Concept
Carré sommable
Résumé
En mathématiques, une fonction définie sur un espace mesuré Ω et à valeurs dans R ou C est dite de carré sommable ou de carré intégrable si elle appartient à l’espace L(Ω) des fonctions dont l'intégrale du carré (du module dans le cas des nombres complexes) converge sur Ω.
Par exemple, une fonction mesurable de R dans C est de carré sommable lorsque l’intégrale suivante (au sens de Lebesgue)
converge, c'est-à-dire si elle existe et correspond ainsi à un nombre fini.
Espace LpEspace L
Considérons les fonctions mesurables définies sur l’ensemble R et à valeurs dans C dont l’intégrale (au sens de Lebesgue) du carré du module converge. Ces fonctions constituent un espace vectoriel L(R) qui, grâce à l'inégalité de Hölder, peut être muni de la forme hermitienne positive définie par
et de la semi-norme correspondante
Puisqu’une fonction de L(R) peut rester indéfinie sur un ensemble de mesure nulle sans affecter les intégrales précédentes, la relation d'équivalence « est égale presque partout » permet de constituer des classes de fonctions (notées provisoirement ) : deux fonctions sont alors dans la même classe si elles sont « égales presque partout », c’est-à-dire égales en dehors d’un ensemble de mesure nulle. L’ensemble de ces classes constitue l’espace vectoriel L(R).
Puisque le noyau de la semi-norme est l’ensemble des fonctions négligeables (c'est-à-dire nulles presque partout) de L(R), l’espace L(R) acquiert une structure d’espace de Hilbert à l’aide du produit scalaire
et de la norme correspondante
Ces intégrales ne dépendent pas des représentants ou de L(R) choisis pour caractériser les classes ou de L(R).
Il est commode et fréquent d’identifier une fonction de L(R) à sa classe dans L(R). Ainsi :
L’espace L(R) des fonctions de carré sommable est l’ensemble des (classes d'égalité presque partout de) fonctions mesurables définies presque partout sur R et à valeurs dans R ou C, telles que le carré de leur module soit Lebesgue-intégrable sur R.
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