Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur GraphSearch.
Concept
Primorielle
Résumé
En théorie des nombres, la primorielle d'un entier naturel , notée ou , est le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à . Par exemple, la primorielle de 10 est :
Ces nombres ont été ainsi nommés par Harvey Dubner.
L'idée de multiplier des nombres premiers consécutifs apparaît dans la démonstration d'Euclide de l'infinité des nombres premiers ; on l'utilise pour montrer l'existence d'un nombre premier plus grand que tout nombre premier donné : tout diviseur premier du nombre d'Euclide est en effet strictement plus grand que . Il est possible que soit lui-même premier ; c'est alors un nombre premier primoriel.
Voici les premières valeurs des primorielles, en prenant par convention 0# = 1, sous forme de liste et de représentation graphique. La liste ne donne que pour premier puisque, par définition, la suite est constante entre deux premiers consécutifs.
thumb|upright=2|Progressions comparées de n! (en jaune) et n# (en rouge), à échelle logarithmique. On remarque la croissance linéaire de ln(n#).
Les indices pour lesquels est premier sont 2, 3, 5, 6 et ceux pour lesquels est premier sont 1, 2, 3, 4, 5, 11 (pour plus d'informations, voir l'article « Nombre premier primoriel » et ses liens externes).
Paul Erdős a montré élémentairement en 1932 que (comme lemme dans sa preuve du postulat de Bertrand).
Le logarithme de , soit , est égal à , où est la première fonction de Tchebychev. Le théorème des nombres premiers étant équivalent à la relation , on obtient : , ce qui implique . Pour les valeurs de sont inférieures à , mais on remarque ensuite des oscillations autour de .
la somme des inverses des primorielles est finie :
Voir la .
Notons que ce nombre est par définition le nombre dont la suite des coefficients du développement de Engel est la suite des nombres premiers.
Pour tout entier de 2 jusqu'à inclus, on a ; on en déduit que les entiers forment entiers consécutifs composés, ce qui montre qu'il y a des plages de composés consécutifs aussi grandes qu'on veut.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.