Primorielle

En théorie des nombres, la primorielle d'un entier naturel , notée ou , est le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à . Par exemple, la primorielle de 10 est : Ces nombres ont été ainsi nommés par Harvey Dubner. L'idée de multiplier des nombres premiers consécutifs apparaît dans la démonstration d'Euclide de l'infinité des nombres premiers ; on l'utilise pour montrer l'existence d'un nombre premier plus grand que tout nombre premier donné : tout diviseur premier du nombre d'Euclide est en effet strictement plus grand que . Il est possible que soit lui-même premier ; c'est alors un nombre premier primoriel. Voici les premières valeurs des primorielles, en prenant par convention 0# = 1, sous forme de liste et de représentation graphique. La liste ne donne que pour premier puisque, par définition, la suite est constante entre deux premiers consécutifs. thumb|upright=2|Progressions comparées de n! (en jaune) et n# (en rouge), à échelle logarithmique. On remarque la croissance linéaire de ln(n#). Les indices pour lesquels est premier sont 2, 3, 5, 6 et ceux pour lesquels est premier sont 1, 2, 3, 4, 5, 11 (pour plus d'informations, voir l'article « Nombre premier primoriel » et ses liens externes). Paul Erdős a montré élémentairement en 1932 que (comme lemme dans sa preuve du postulat de Bertrand). Le logarithme de , soit , est égal à , où est la première fonction de Tchebychev. Le théorème des nombres premiers étant équivalent à la relation , on obtient : , ce qui implique . Pour les valeurs de sont inférieures à , mais on remarque ensuite des oscillations autour de . la somme des inverses des primorielles est finie : Voir la . Notons que ce nombre est par définition le nombre dont la suite des coefficients du développement de Engel est la suite des nombres premiers. Pour tout entier de 2 jusqu'à inclus, on a ; on en déduit que les entiers forment entiers consécutifs composés, ce qui montre qu'il y a des plages de composés consécutifs aussi grandes qu'on veut.