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Concept
Entier sans facteur carré
Résumé
vignette|Les nombres qui n'ont pas été rayé sont tous les entiers sans facteur carré jusqu'à 120
En mathématiques et plus précisément en arithmétique, un entier sans facteur carré (souvent appelé, par tradition ou commodité quadratfrei ou squarefree) est un entier relatif qui n'est divisible par aucun carré parfait, excepté 1. Par exemple, 10 est sans facteur carré mais 18 ne l'est pas, puisqu'il est divisible par 9 = 3. Les dix plus petits nombres de la des entiers positifs sans facteur carré sont 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14.
L'entier n est sans facteur carré si et seulement si dans la décomposition en facteurs premiers de n, aucun nombre premier n'apparait plus d'une fois. Un autre point de vue équivalent est que pour chaque diviseur premier p de n, le nombre premier p ne divise pas . Une autre formulation est la suivante : n est sans facteur carré si et seulement si dans chaque décomposition n = ab, les facteurs a et b sont premiers entre eux.
Pour tout nombre premier p, la valuation p-adique de l'entier n est au plus égale à 1. On dit aussi parfois qu'un tel nombre est quadratfrei.
On rappelle que pour tout nombre premier p et tout entier naturel n, la valuation p-adique de n (parfois notée ν(n)) est égale, par définition, à l'exposant de p dans la décomposition de n en produit de nombres premiers.
Ainsi, si , on a , et est quadratfrei équivaut à .
Un entier n > 0 est sans facteur carré si et seulement si son par la fonction de Möbius est non nulle.
Un entier n > 0 est sans facteur carré si et seulement si tous les groupes abéliens d'ordre n sont isomorphes, ce qui est le cas si et seulement si tous sont cycliques. Ceci découle du théorème de Kronecker.
Un entier n > 1 est sans facteur carré si et seulement si l'anneau factoriel Z/nZ est un produit de corps. Ceci découle du théorème des restes chinois et du fait qu'un anneau de la forme Z/kZ est un corps si et seulement si k est un nombre premier.
Pour chaque entier naturel n, l'ensemble de tous les diviseurs positifs de n est partiellement ordonné par la relation de divisibilité ; c'est même un treillis distributif et borné.
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