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Concept
Point singulier d'une courbe
Résumé
En géométrie, un point singulier d'une courbe est un point en lequel la courbe ne peut être paramétrée par un plongement lisse.
Les définitions plus précises du point singulier d'une courbe dépendent du type de courbe concernée.
Les courbes algébriques planes peuvent être définies comme étant un ensemble de points qui satisfont une équation de la forme où est une fonction polynomiale.
Supposons est développée sous la forme :
et si l'origine (0, 0) est sur la courbe, alors . Si , alors le théorème des fonctions implicites garantit qu'il existe une fonction lisse h telle que la courbe soit de la forme près de l'origine. De même, si , alors il existe une fonction lisse k telle que la courbe soit de la forme près de l'origine.
Dans les deux cas, il existe une fonction lisse sur qui définit la courbe au voisinage de l'origine. Remarquons qu'à l'origine,
de sorte que la courbe est non singulière à l'origine si au moins l'une des dérivées partielles de f est non nulle en ce point. Plus généralement, les points singuliers sont les points sur la courbe où les deux dérivées partielles sont nulles :
On suppose que la courbe passe par l'origine et on pose Alors f peut être écrit sous la forme
Si est non nul alors f = 0 a une solution de multiplicité 1 en x = 0 et l'origine est un point de contact simple avec la droite Si alors f = 0 a une solution de multiplicité 2 ou supérieure et la droite ou est tangente à la courbe. Dans ce cas, si est non nul alors la
courbe à un point de contact double avec Si le coefficient de x, est nul mais le coefficient de x ne l'est pas et donc l'origine est un point d'inflexion de la courbe. Si les coefficients de x et x sont tous les deux nuls alors l'origine est un point d'ondulation de la courbe. Cette analyse peut se déporter en tout point d'une courbe en translatant le repère pour placer l'origine au pont à étudier.
Si b_0 et b_1 sont tous deux nuls dans le développement ci-dessus, mais au moins un des c_0, c_1, c_2 est non nul alors l'origine est un point double de la courbe.
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