Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Courbe du blanc-manger
Résumé
300px|thumb|Courbe du blanc-manger ou "de Takagi"
En mathématiques, la courbe du blanc-manger est une courbe fractale constructible par subdivision de son ensemble de définition. Elle est aussi connue comme la courbe de Takagi, d'après Teiji Takagi qui l'a décrite en 1901, ou comme la courbe de Takagi-, une généralisation de la courbe. Le nom blanc-manger vient de sa ressemblance à l'entremets du même nom. C'est un cas particulier de .
La fonction blanc-manger est définie sur R par :
où s est définie par
c'est-à-dire que s(y) est la distance entre y et l'entier relatif le plus proche.
La série de fonctions définissant blanc(x) pour tout nombre x est normalement convergente donc la fonction blanc-manger est continue (et 1-périodique, donc uniformément continue), mais elle n'est dérivable en aucun point . Sa courbe représentative est une fractale (c'est l'attracteur d'un système de fonctions itérées).
La courbe de Takagi–Landsberg en est une généralisation donnée par la relation :
pour un paramètre w. La valeur H = –log(w), où log désigne le logarithme binaire, est appelée le « paramètre de Hurst ».
La courbe du blanc-manger est donc le cas w = 1/2, c'est-à-dire H = 1.
La courbe du blanc-manger peut être construite à partir des fonctions en dents de scie. Sur les illustrations ci-dessous, les fonctions en dents de scie (en rouge) sont progressivement ajoutées à la courbe à chaque étape.
Blancmange-approx1.svg|''n'' = 0
Blancmange-approx2.svg|''n'' ≤ 1
Blancmange-approx3.svg|''n'' ≤ 2
Blancmange-approx4.svg|''n'' ≤ 3
Étant donné que l'intégrale de 0 à 1 de la fonction blanc vaut 1/2, la relation
permet de calculer la primitive I s'annulant en 0 :
Le calcul est récursif et son temps de calcul est de l'ordre du logarithme de la précision requise.
La courbe de Takagi-Landsberg de paramètre de Hurst H a pour dimension de Hausdorff 2 – H.
La dimension de Hausdorff de la courbe du blanc-manger, pour laquelle H = 1, vaut donc 1, malgré son aspect fractal.
Fonction de Bolzano
Fonction de Weierstrass
Fonction continue nulle
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.