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Concept
Transformée de Wigner-Weyl
Résumé
La transformée de Wigner – Weyl (ou transformée de Weyl – Wigner) établit une correspondance univoque entre deux formulations de la mécanique quantique : théorie abstraite de l'infiniment petit qui s'appuie sur des formalismes et des outils mathématiques divers, mais qui rendent compte des mêmes résultats et des mêmes propriétés dans leurs domaines communs d'application ; l'exemple historique bien établi est celui de la mécanique des matrices d'Heisenberg et celle décrite par l'équation de Schrödinger, dont P.M.Dirac devait démontrer l'équivalence (voir l'article Représentation de Schrödinger). Plus spécifiquement, la transformée de Wigner – Weyl établit les liens réciproques entre la formulation de la mécanique quantique dans l'espace de phases avec celle dans l'espace de Hilbert des fonctions d'onde. Par ailleurs, cette transformation joue un rôle essentiel dans la compréhension des liens entre la mécanique quantique et la mécanique classique ; elle sert de base pour la physique semi-classique.
Souvent, la transformation des fonctions sur l'espace des phases en opérateurs dans l'espace d'Hilbert est appelée transformée de Weyl (ou quantification de Weyl), tandis que la transformation inverse (des opérateurs en fonctions sur l'espace des phases) est appelé transformée de Wigner.
Cette transformation mathématique a été conçue à l'origine par Hermann Weyl en 1927 dans le but de projeter des fonctions d'espace de phase classiques symétrisées sur des opérateurs, une procédure connue sous le nom de quantification de Weyl. Il est maintenant entendu que la quantification de Weyl ne satisfait pas toutes les propriétés dont on aurait besoin pour une quantification cohérente et donne donc parfois des réponses non physiques. D'autre part, certaines des propriétés intéressantes décrites ci-dessous suggèrent que si l'on cherche une seule procédure cohérente de transformation des fonctions sur l'espace des phases classique vers les opérateurs, la quantification de Weyl est la meilleure option (mais le théorème de Groenewold établit qu'aucune transformation ne peut avoir toutes les propriétés idéales que l'on peut souhaiter).
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