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Concept
Variété de Poisson
Résumé
En géométrie, une structure de Poisson sur une variété différentielle est un crochet de Lie (appelé crochet de Poisson dans ce cas) sur l'algèbre des fonctions lisses de à valeurs réelles, vérifiant formule de Leibniz
En d'autres termes, une structure de Poisson est structure d'algèbre de Lie sur l'espace vectoriel des fonctions lisses sur de sorte que est un champ de vecteurs pour toute fonction lisse , appelé champ de vecteurs hamiltonien associé à .
Soit une variété différentielle. Soit l'algèbre des fonctions de classe de à valeurs réelles, où la multiplication est définie point par point. Un crochet de Poisson sur est une application -bilinéaire
vérifiant les trois axiomes:
Antisymétrie: .
Relation de Jacobi: .
Formule de Leibniz: .
Les deux premiers axiomes assurent que définit une structure d'algèbre de Lie sur , tandis que le troisième assure que pour tout fonction , son adjoint est une dérivation de , c'est-à-dire qu'il constitue un champ de vecteurs . Il s'ensuit que le crochet des fonctions et est de la forme
où est un champ de bivecteurs lisse, appelé tenseur de Poisson.
Réciproquement, étant donné un champ de bivecteurs lisse sur , la formule définit un crochet bilinéaire antisymétrique qui vérifie automatiquement la règle de Leibniz.
Toute variété peut être munie d'une structure de Poisson triviale par la formule .
Toute variété symplectique dispose naturellement d'une structure de Poisson, dont le tenseur est défini comme l'inverse de la forme symplectique . On peut noter qu'avec une telle définition, la fermeture de la forme symplectique est équivalente à l'identité de Jacobi pour le crochet de Poisson associé.
Le dual d'une algèbre de Lie est une variété de Poisson. Une description globale du crochet est la suivante: est en bijection naturelle avec les fonctions linéaires sur , on définit alors pour tous et .
Si et sont deux variétés de Poisson, une application lisse est un morphisme de Poisson s'il respecte la structure de Poisson, c'est-à-dire que pour tout et toute fonction , on a:
En termes de tenseurs de Poisson, cette condition revient à dire que n'est autre que le tiré en arrière de par .
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