Sur quelques points d'algèbre homologique

Sur quelques points d'algèbre homologique est un article d'Alexandre Grothendieck, souvent désigné dans le monde anglo-saxon sous le nom the Tôhoku paper, publié en 1957 dans le Tôhoku Mathematical Journal . Il a révolutionné le sujet de l'algèbre homologique, un aspect purement algébrique de la topologie algébrique. Cela a supprimé la nécessité de distinguer les cas de modules sur un anneau et de faisceaux de groupes abéliens sur un espace topologique. Le contenu de l'article date de l'année 1955 lorsque Grothendieck était à l'université du Kansas. Ses recherches lui ont permis d'axiomatiser l'algèbre homologique en introduisant le concept de catégorie abélienne. Un manuel d'algèbre homologique, le Cartan-Eilenberg d'après les auteurs Henri Cartan et Samuel Eilenberg, parut en 1956. L'œuvre de Grothendieck en était largement indépendante. Son concept de catégorie abélienne fut partiellement anticipé par d'autres. David Buchsbaum dans sa thèse de doctorat supervisée par Eilenberg avait introduit une notion de « catégorie exacte » qui était proche de celle de catégorie abélienne (n'ayant besoin que de sommes directes pour être identiques) ; et avait formulé l'idée de morphismes « suffisamment d'injectifs ». L'article de Tôhoku contient un argument pour prouver qu'une catégorie de Grothendieck (un type particulier de catégorie abélienne, le nom venant plus tard) a suffisamment de morphismes injectifs ; l'auteur ayant indiqué que la preuve était de type standard. En montrant par ce moyen que les catégories de faisceaux de groupes abéliens admettaient des résolutions injectives, Grothendieck est allé au-delà de la théorie disponible chez Cartan-Eilenberg, pour prouver l'existence d'une théorie de cohomologie en toute généralité. Après le théorème de Gabriel-Popescu de 1964, on savait que toute catégorie de Grothendieck est une catégorie quotient d'une catégorie de module. Cet article permit également introduire la suite spectrale de Grothendieck associée à la composition des foncteurs dérivés.