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Concept
Foncteur dérivé
Résumé
En mathématiques, certains foncteurs peuvent être dérivés pour obtenir de nouveaux foncteurs liés de manière naturelle par des morphismes à ceux de départs. Cette notion abstraite permet d'unifier des constructions concrètes intervenant dans de nombreux domaines des mathématiques. Elle n'est pas liée à la notion de dérivation en analyse.
La notion de foncteur dérivé est conçue pour donner un cadre général aux situations où une suite exacte courte donne naissance à une suite exacte longue.
Soit donné un foncteur F : A → B entre deux catégories abéliennes A et B. On suppose que F est exact à gauche, c'est-à-dire que pour une suite exacte courte d'objets de la catégorie A :
alors la suite suivante est exacte :
Il est alors naturel de se demander si on peut prolonger cette suite en une suite exacte, et si on peut le faire de façon canonique. Les foncteurs dérivés du foncteur F seront alors, pour tout i ≥ 1, les foncteurs RiF : A → B, tels que la suite suivante soit exacte :
F est donc exact à droite si et seulement si le foncteur R1F est trivial. Les foncteurs dérivés mesurent donc dans un certain sens le défaut d'exactitude de F.
On suppose que la catégorie A possède suffisamment d' — une abstraction de la notion de module injectif — c'est-à-dire que pour tout objet A dans A il existe un monomorphisme où I est un objet injectif dans A.
Soit un foncteur covariant exact à gauche F : A → B et un objet X dans A. Par l'hypothèse sur A, on peut construire une injective de X (i.e. une suite exacte longue où les Ii pour i ≥ 0 sont des objets injectifs) :
En appliquant le foncteur F, on obtient le complexe de cochaînes
La cohomologie au i-ème rang est alors définie comme étant RiF(X). En particulier : R0F(X) = F(X). Pour obtenir une démonstration complète, il faudrait vérifier les points suivants : le résultat ne dépend pas, à isomorphisme près, du choix de la résolution injective de X, et pour chaque flèche X → Y il existe une flèche RiF(X) → RiF(Y) qui fasse que RiF vérifie les propriétés des foncteurs.
Source officielle
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