En mathématiques, les catégories abéliennes forment une famille de catégories qui contient celle des groupes abéliens. Leur étude systématique a été instituée par Alexandre Grothendieck pour éclairer les liens qui existent entre différentes théories cohomologiques, comme la cohomologie des faisceaux ou la cohomologie des groupes. Toute catégorie abélienne est additive.
Une catégorie abélienne est une catégorie additive dans laquelle on peut additionner les flèches et définir pour toute flèche les notions de noyau, conoyau et .
Plus précisément, une catégorie abélienne est une catégorie vérifiant les axiomes suivants :
pour tous les objets et dans , est muni d'une structure de groupe abélien ;
pour tous les objets , et , la composition
est bilinéaire ;
toute flèche admet un noyau, un conoyau et une image au sens suivant : soit une flèche,
un noyau de f est un objet K de et une flèche telle que et telle que pour tout objet de et toute flèche telle que , alors il existe une unique flèche telle que ; autrement dit le diagramme suivant commute :
un conoyau de est un objet de et une flèche telle que et telle que pour tout objet de et toute flèche telle que , alors il existe une unique flèche telle que ,
une image de est un objet et une flèche qui soit un noyau de et une flèche qui soit un conoyau de ; de plus on doit avoir la composition égale à .
Si des noyaux existent, ils sont tous isomorphes, et de même pour des conoyaux. Ainsi, l'image, si elle existe, est bien définie.
La catégorie des groupes abéliens.
La catégorie des complexes de groupes abéliens.
La catégorie des modules à gauche (ou celle des modules à droite) sur un anneau.
La catégorie des préfaisceaux en groupes abéliens sur un espace topologique, ou plus généralement : la catégorie des foncteurs d'une petite catégorie dans une catégorie abélienne.
La catégorie des faisceaux en groupes abéliens sur un espace topologique.
Roger Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, coll.
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En mathématiques, plus particulièrement en algèbre homologique, une suite exacte est une suite (finie ou infinie) d'objets et de morphismes entre ces objets telle que l' de l'un est égale au noyau du suivant. Dans le contexte de la théorie des groupes, on dit que la suite (finie ou infinie) de groupes et de morphismes de groupes est exacte si pour tout entier naturel n on a . Dans ce qui précède, sont des groupes et des morphismes de groupes avec . Dans la suite, 0 dénote le groupe trivial, qui est l'objet nul dans la catégorie des groupes.
Homological algebra is the branch of mathematics that studies homology in a general algebraic setting. It is a relatively young discipline, whose origins can be traced to investigations in combinatorial topology (a precursor to algebraic topology) and abstract algebra (theory of modules and syzygies) at the end of the 19th century, chiefly by Henri Poincaré and David Hilbert. Homological algebra is the study of homological functors and the intricate algebraic structures that they entail; its development was closely intertwined with the emergence of .
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Singular cohomology is defined by dualizing the singular chain complex for spaces. We will study its basic properties, see how it acquires a multiplicative structure and becomes a graded commutative a
This course will provide an introduction to model category theory, which is an abstract framework for generalizing homotopy theory beyond topological spaces and continuous maps. We will study numerous
The starting point for this project is the article of Kathryn Hess [11]. In this article, a homotopic version of monadic descent is developed. In the classical setting, one constructs a category D(
K-Theory was originally defined by Grothendieck as a contravariant functor from a subcategory of schemes to abelian groups, known today as K0. The same kind of construction was then applied to other f