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Concept
Suite exacte
Résumé
En mathématiques, plus particulièrement en algèbre homologique, une suite exacte est une suite (finie ou infinie) d'objets et de morphismes entre ces objets telle que l' de l'un est égale au noyau du suivant.
Dans le contexte de la théorie des groupes, on dit que la suite (finie ou infinie) de groupes et de morphismes de groupes
est exacte si pour tout entier naturel n on a . Dans ce qui précède, sont des groupes et des morphismes de groupes avec .
Dans la suite, 0 dénote le groupe trivial, qui est l'objet nul dans la catégorie des groupes.
La suite est exacte si et seulement si f est injective.
La suite est exacte si et seulement si g est surjective.
La suite est exacte si et seulement si f est bijective.
On peut aussi, de même que ces suites exactes infinies à droite, définir les suites exactes infinies à gauche (indexées par exemple par –N), ou infinies des deux côtés (indexées par Z).
On peut aussi définir des suites exactes pour d'autres structures et morphismes de ces structures, par exemple des suites exactes d'anneaux, d'algèbres, etc.
L'un des cas importants de suite exacte est celui de suite exacte courte, c'est-à-dire de suite exacte de la forme
En théorie des groupes, une suite exacte courte est parfois appelée extension de groupes.
Pour une suite exacte courte comme ci-dessus :
un scindage à gauche est une rétraction de q, c'est-à-dire un morphisme t : B → A tel que tq = id ;
un scindage à droite est une section de r, c'est-à-dire un morphisme u : C → B tel que ru = id ;
un scindage en biproduit (à la fois somme et produit) est une réalisation par B du biproduit A ⊕ C pour laquelle q s'identifie à l'injection naturelle de A dans A ⊕ C et r à la projection naturelle de dans C.
Dans la catégorie des groupes abéliens ou des modules sur un anneau et plus généralement dans toute catégorie abélienne, l'existence de ces trois scindages est équivalente et la suite exacte courte est alors dite scindée.
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