Foncteur exactEn mathématiques, un foncteur exact est un foncteur qui commute aux limites inductives et projectives. De manière équivalente, c'est un foncteur qui préserve les suites exactes de catégories abéliennes et c'est de cela que vient la dénomination. Des foncteurs de ce type apparaissent naturellement en homologie et d'une manière générale en théorie des catégories, où leurs propriétés permettent des calculs élégants. Le « défaut d'exactitude » est mesuré par les foncteurs dérivés, par exemple les foncteurs Tor et Ext.
Lemme des cinqEn algèbre homologique, le lemme des cinq permet d'établir l'injectivité et la surjectivité des flèches dans les diagrammes commutatifs. Précisément : en supposant 1) que le diagramme ci-dessous est commutatif 2) que les deux lignes du diagramme sont exactes 3) que et sont des isomorphismes 4) que est un épimorphisme et un monomorphisme alors est un isomorphisme. Ceci vaut non seulement dans une catégorie abélienne (comme celle des groupes abéliens, ou celle des espaces vectoriels sur un corps fixé) mais aussi, par exemple, dans la catégorie des groupes.
Lemme de YonedaEn théorie des catégories, le lemme de Yoneda, attribué au mathématicien japonais Nobuo Yoneda, est un théorème de plongement d'une catégorie localement petite dans une catégorie de foncteurs : les objets de sont identifiés aux foncteurs représentables, et les morphismes de à toutes les transformations naturelles entre ces foncteurs. C'est une vaste généralisation du théorème de Cayley pour les groupes (vus comme des petites catégories à un seul objet).
Lemme du serpentLe lemme du serpent, en mathématiques, et en particulier en homologie et cohomologie, est un énoncé valide dans toute catégorie abélienne ; c'est un outil des plus importants pour la construction de suites exactes, objets omniprésents en homologie et ses applications, par exemple en topologie algébrique. Les morphismes ainsi construits sont généralement appelés « morphismes connectants ».
