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Concept
Lemme de Yoneda
Résumé
En théorie des catégories, le lemme de Yoneda, attribué au mathématicien japonais Nobuo Yoneda, est un théorème de plongement d'une catégorie localement petite dans une catégorie de foncteurs : les objets de sont identifiés aux foncteurs représentables, et les morphismes de à toutes les transformations naturelles entre ces foncteurs. C'est une vaste généralisation du théorème de Cayley pour les groupes (vus comme des petites catégories à un seul objet). Une des conséquences du lemme de Yoneda est le théorème des , qui a de nombreuses utilisations en homologie et en géométrie algébrique.
Le lemme de Yoneda exprime le fait que deux objets et sont isomorphes si (et seulement si) ils ont les mêmes relations (i.e. les mêmes ensembles de morphismes) avec tous les autres objets de la catégorie.
Soit une catégorie localement petite, c'est-à-dire dans laquelle, pour tous objets A et X, les morphismes de A dans X forment un ensemble et pas seulement une classe.
Un objet A de définit un foncteur Hom covariant h de dans la catégorie Ens des ensembles par :De la sorte, on dispose d'un foncteur contravariant h de dans la catégorie Fun(, Ens) des foncteurs covariants de dans Ens. Tout morphisme de A dans B dans la catégorie induit une transformation naturelle de h dans h. Le lemme de Yoneda affirme que toute transformation naturelle de h dans h est de cette forme ; mieux, il caractérise l'ensemble des transformations naturelles de h dans n'importe quel foncteur de dans Ens.Le lemme de Yoneda montre que le foncteur contravariant h est pleinement fidèle ; la catégorie duale se trouve ainsi plongée dans Fun(, Ens).
En remplaçant par , on en déduit une version similaire, concernant le foncteur covariant h : A ↦ h = Hom(–, A), de dans la catégorie de préfaisceaux Fun(, Ens), c'est-à-dire la catégorie des foncteurs contravariants de dans Ens. Ce foncteur h, appelé le plongement de Yoneda, plonge canoniquement dans la catégorie Fun(, Ens), qui a l'intérêt d'être cocomplète, c'est-à-dire de posséder toutes les petites colimites.
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