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Concept
Transformation bilinéaire
Résumé
La transformation bilinéaire est une méthode de traitement numérique du signal pour la conception de filtres numériques calqués sur des filtres analogiques. Elle permet le passage d'une représentation continue à une représentation discrète des filtres.
La transformation bilinéaire est un cas particulier de transformation de Möbius. L'image de la droite imaginaire () est le cercle unité dans le plan complexe. Cette propriété permet de passer de la variable de la transformée de Laplace (la transformée de Fourier est obtenue en prenant ) à la variable de la transformée en Z (la transformée de Fourier est obtenue en prenant ).
La méthode de la transformation bilinéaire est d'appliquer la substitution dans la transformée de Laplace d'un filtre analogique. On obtient l'expression de la transformée en Z d'un filtre discret
L'image du semi-plan complexe gauche () par la transformation bilinéaire est le disque unité. La conséquence de cette propriété est que la transformation bilinéaire préserve la stabilité d'un filtre.
Chaque point de l'axe imaginaire a pour image le point , où les pulsations et sont reliées par . L'égalité entre et dans l'approximation des faibles pulsations () est obtenue pour ( est le temps entre chaque échantillon).
Lorsque décrit l'intervalle , décrit l'intervalle .
Le filtre obtenu par la méthode de la transformation bilinéaire a les mêmes propriétés que le filtre analogique (même réponse en gain, même réponse en phase), avec toutefois une contraction de l'axe fréquentiel. La distorsion de l'échelle des fréquences est d'autant plus forte que l'on s'approche de la fréquence de Nyquist.
La méthode de la transformation bilinéaire correspond au développement suivant lorsque le temps de discrétisation converge vers 0 :
dont l'inverse est
Une justification de ce développement est la méthode des trapèzes décrite ci-dessous.
Sur l'image de gauche l'aire sous la courbe vaut:
Si on définit les bornes comme deux échantillons temporels au pas de temps alors on a :
et
ce qui donne l'aire sous la courbe:
Si on
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