Fraction continue | EPFL Graph Search

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En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou plus rarement fraction continuée est une expression de la forme : comportant un nombre fini ou infini d'étages. On montre qu'on peut « représenter » tout nombre réel sous forme d'une fraction continue, finie ou infinie, dans laquelle a0 est un entier relatif et les autres aj sont des entiers strictement positifs. Comme dans la notation décimale usuelle, où chaque réel est approché par des nombres décimaux de plus en plus précisément au fur et à mesure de la donnée des décimales successives, de même chaque réel est approché par des fractions étagées de la forme ci-dessus de plus en plus précisément au fur et à mesure qu'on rajoute des étages. En outre, s'il faut une infinité de décimales pour décrire exactement un nombre non décimal, il faut un développement infini en fraction continue pour décrire exactement un nombre irrationnel. Les fractions continues sont utiles en approximation diophantienne, notamment parce qu'elles fournissent, en un certain sens, les « meilleures » approximations des réels par des rationnels. Cette propriété est à l'origine d'algorithmes pour l'approximation de racines carrées, mais aussi de démonstrations d'irrationalité voire de transcendance pour certains nombres comme π ou e. La périodicité des fractions continues des racines carrées d'entiers strictement supérieurs à 1 et sans facteur carré a des conséquences utiles pour l'étude de l'équation de Pell-Fermat. Déjà usitées chez les mathématiciens indiens au Moyen Âge, les fractions continues sont étudiées en Europe dès le . Elles sont maintenant généralisées à d'autres expressions, appliquées aux approximations de séries entières appelées approximant de Padé, ou encore adaptées aux applications linéaires. vignette|John Wallis, à la suite des travaux de William Brouncker, utilise pour la première fois l'expression « fraction continue ». La notion de fraction continue est vaste et se retrouve dans de nombreuses branches des mathématiques.

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Local excitations in amorphous solids

Wencheng Ji

Amorphous solids are structurally disordered. They are very common and include glasses, colloids, and granular materials, but are far less understood than crystalline solids. Key aspects of these materials are controlled by the presence of excitations in which a group of particles rearranges. This motion can be triggered by (a) quantum fluctuations associated with two-level systems (TLS), which dominate the low temperature properties of conventional glasses and have practical importance on superconducting qubits; by (b) thermal fluctuations associated with activations, which are related to the famous and challenging

glass transition'' problem; or by (c) exerting an external stress or strain associated with shear transformations, which control the plasticity. Hence, it is important to understand how temperature and system preparation determines the density and geometry of these excitations. The possible unification of these excitations into a common description is also a fundamental problem.  These local excitations are thought to have a close relationship with

Quasi-localised modes (QLMs)'' which are present in the low-frequency vibrational spectrum in amorphous solids. Understanding the properties of QLMs and clarifying the relation between QLMs and these local excitations are important to the study of the latter. In this thesis: (1) we provide a theory for the QLMs, D_L(omega) ~ omega^alpha, that establishes the link between QLMs and shear transformations for systems under quasi-static loading. It predicts two regimes depending on the density of shear transformations P(x)~ x^theta (with x the additional stress needed to trigger a shear transformation). If theta>1/4, alpha=4 and a finite fraction of quasi-localised modes form shear transformations, whose amplitudes vanish at low frequencies. If theta

EPFL2021

Nombre irrationnel

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction a/b, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul). Les nombres irrationnels peuvent être caractérisés de manière équivalente comme étant les nombres réels dont le développement décimal n'est pas périodique ou dont le développement en fraction continue est infini. On distingue, parmi les nombres irrationnels, deux sous-ensembles complémentaires : les nombres algébriques non rationnels et les nombres transcendants.

Fraction continue

Nombre réel

En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.

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